Diffusion (opérateur de)

Imaginez une température répartie le long d’une barre. Au fil du temps, les écarts s’atténuent : la chaleur se disperse. Un courant peut aussi déplacer cette répartition, tandis qu’une source ou une perte la renforce ou l’affaiblit.

L’opérateur de diffusion rassemble ces trois effets en une même règle de calcul. Il lit la courbure locale de la quantité étudiée, son changement dans une direction et sa valeur au point considéré.

Un opérateur de diffusion agit sur une fonction suffisamment dérivable qui décrit une quantité dans l’espace. Dans le cas unidimensionnel, la fonction est notée u, la position est notée x, et une écriture courante est $(Lu)(x)=a(x)u^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)+b(x)u^{\mathrm{\prime }}(x)+c(x)u(x)(Lu)(x)=a(x)u\text{'}\text{'}(x)+b(x)u\text{'}(x)+c(x)u(x)$. Le coefficient a règle l’effet du second ordre, le coefficient b règle la dérive et le coefficient c règle la réaction.

En plusieurs dimensions, le terme du second ordre est porté par une matrice de coefficients. Son ellipticité signifie que la dispersion agit dans toutes les directions considérées ; selon le cadre, cette ellipticité peut être uniforme ou seulement locale. Le terme du premier ordre transporte la quantité selon un champ de dérive. Le terme d’ordre zéro la crée, l’amplifie ou l’absorbe suivant son signe et la convention de l’équation.

Lorsque le second ordre est le laplacien et que les autres termes sont nuls, on retrouve la diffusion pure. Placé dans une équation d’évolution, l’opérateur gouverne une équation parabolique. Dans un modèle stochastique sans terme de réaction, il peut aussi décrire l’évolution infinitésimale des valeurs moyennes associées à un processus de diffusion.

L’opérateur comporte trois pièces. La partie principale elliptique, d’ordre deux, mesure la courbure locale et produit la dispersion. La dérive, d’ordre un, associe un champ de transport au gradient de la fonction. La réaction, d’ordre zéro, multiplie la valeur locale sans prendre de dérivée.

Les coefficients relient ces pièces au milieu modélisé : leur variation avec la position rend la diffusion, le transport ou la réaction hétérogènes. La matrice du second ordre doit satisfaire l’hypothèse d’ellipticité retenue ; sinon, certaines directions peuvent perdre leur effet diffusif. Ces données, avec le domaine et les conditions imposées au bord, suffisent à formuler l’équation d’évolution, mais pas toujours à garantir à elles seules l’existence ou l’unicité d’une solution.

Considérons la fonction u définie par $u(x)=x^{2}u(x)=x^2$. On choisit un coefficient de diffusion égal à 1, une dérive égale à 2 et une réaction égale à −1. Le calcul est effectué à la position x = 1.

1. Les dérivées valent $u^{\mathrm{\prime }}(x)=2xu\text{'}(x)=2x$ et $u^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=2u\text{'}\text{'}(x)=2$.
2. À x = 1, la diffusion contribue pour 1 × 2 = 2.
3. La dérive contribue pour 2 × 2 = 4.
4. La réaction contribue pour −1 × 1 = −1.

La somme donne $(Lu)(1)=2+4-1=5(Lu)(1)=2+4-1=5$. Le diagramme des contributions rend ce bilan visible. Un contrôle direct consiste à développer l’opérateur : $(Lu)(x)=2+4x-x^2(Lu)(x)=2+4x-x^2$, puis à remplacer x par 1.

Pour modéliser la chaleur sans déplacement global du milieu, on choisit une dérive nulle et une réaction nulle. Le laplacien suffit lorsque la dispersion est homogène et isotrope ; des coefficients variables sont préférables si le milieu change selon le lieu ou la direction.

Lorsqu’un courant déplace la quantité observée, le terme de dérive devient nécessaire. Son champ indique localement la direction et l’intensité du transport, tandis que la partie elliptique conserve le rôle de dispersion.

Dans un modèle avec création ou absorption locale, on ajoute un terme de réaction. Si la quantité doit être conservée, ce terme demande une vérification particulière : selon son signe et les conditions au bord, il peut modifier le total.

Le laplacien. Il ne contient que le second ordre dans sa forme usuelle. Si une dérive ou une réaction apparaît, l’opérateur est plus général qu’un simple laplacien.

L’équation de la chaleur. C’est une équation d’évolution, alors que l’opérateur de diffusion est l’expression spatiale placée dans cette équation. La présence d’une dérivée par rapport au temps tranche entre les deux objets.

Un processus de diffusion. Il s’agit d’un objet stochastique évoluant au cours du temps. L’opérateur agit sur des fonctions et peut caractériser l’évolution infinitésimale de ce processus ; il n’est pas la trajectoire aléatoire elle-même.

Perte d’ellipticité. Si le coefficient du second ordre s’annule dans une direction, la dispersion n’y agit plus. L’équation peut devenir dégénérée ; il faut alors annoncer cette situation et ne pas appliquer sans vérification les résultats du cas uniformément elliptique.

Signe de la dérive. Deux conventions d’écriture peuvent inverser le signe du terme de transport. Le symptôme est un déplacement prédit dans le sens opposé ; il faut relire l’équation d’évolution complète avant d’interpréter le champ.

Réaction et conservation. Un terme d’ordre zéro non nul peut créer ou absorber la quantité. Même avec une partie diffusante, la conservation du total ne se déduit donc pas du seul nom de l’opérateur ; elle se vérifie avec le signe du terme et les conditions au bord.

Régularité insuffisante. L’écriture classique utilise des dérivées premières et secondes. Si la fonction ne les possède pas, le calcul point par point n’est pas défini ; une formulation faible ou stochastique adaptée peut alors remplacer cette lecture classique.

Le glossaire laplacien d'une fonction approfondit le cas de diffusion pure et le calcul du terme du second ordre.

L’entrée équation de la chaleur montre comment un opérateur spatial prend place dans une évolution temporelle.

L’article De l’équation de Laplace au laplacien replace l’opérateur laplacien dans son cadre analytique.

Le glossaire Opérateur différentiel précise la famille d’objets à laquelle appartient un opérateur de diffusion.