AnalyseObjet mathématique · Glossaire
Ondes (équation des)
L'équation des ondes est une équation aux dérivées partielles du second ordre qui modélise la propagation d'une perturbation dans un milieu. Elle s'écrit : la dérivée seconde de u par rapport au temps est égale à c au carré fois le laplacien de u, où c est la vitesse de propagation. Elle intervient en acoustique, en électromagnétisme et en mécanique quantique. En dimension 1 sur la droite entière, sous des hypothèses de régularité adéquates, la formule de d’Alembert exprime ses solutions générales comme la superposition de deux ondes progressives de sens opposés.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter la dérivée temporelle seconde, le laplacien et la vitesse c.
- Lire la superposition f(x − ct) + g(x + ct) en dimension un.
- Construire puis vérifier une onde sinusoïdale avançant à 4 m/s.
- Repérer les limites liées aux bords, au milieu variable, à la dispersion et à l’atténuation.
En clair
Pincez une corde tendue : la bosse créée près de vos doigts se déplace, tandis que chaque petit morceau de corde monte puis redescend. L’équation des ondes relie ces deux changements. La courbure de la corde commande son accélération verticale, et la constante c fixe la vitesse à laquelle le profil voyage.
L’équation ne décrit donc pas une forme unique. Elle indique quelles évolutions sont compatibles avec une propagation idéale. Une impulsion, une sinusoïde ou leur superposition peuvent ainsi avancer sans que la règle change.
Définition
L’équation des ondes est une équation aux dérivées partielles du second ordre. La fonction u décrit l’amplitude de la perturbation en chaque position de l’espace et à chaque instant t. La constante positive c est la vitesse de propagation dans le modèle. Le laplacien, noté Δu, additionne les dérivées secondes spatiales de u et mesure localement sa courbure.
Avec un milieu homogène, isotrope et non dispersif où c reste constante, l’équation s’écrit . Si les coordonnées spatiales sont x1, …, xn, le laplacien vaut :
Il faut ajouter des valeurs initiales et, sur un domaine borné, des conditions au bord pour déterminer une évolution particulière.
Sur une droite entière, lorsque la régularité permet les dérivations, toute solution s’écrit . La fonction f porte un profil vers les x croissants et la fonction g un profil vers les x décroissants, tous deux à la vitesse c. Cette forme de d’Alembert exprime la superposition d’ondes progressives. En acoustique et en électromagnétisme, les grandeurs représentées par u dépendent du modèle ; en mécanique quantique, des équations d’onde apparentées décrivent l’évolution d’états, sans se réduire toutes à cette forme classique.
De quoi c'est fait
Cinq données organisent le modèle. Le champ u est la grandeur qui se propage. Le temps t ordonne son évolution. Les coordonnées spatiales indiquent où u est observée. Le laplacien Δ compare chaque valeur à son voisinage. Enfin, la vitesse c convertit une durée en distance parcourue.
La dérivée seconde temporelle dépend de la courbure spatiale par le facteur c² : doubler c multiplie par quatre l’accélération associée au même profil. Les données initiales, position et vitesse de chaque point à t = 0, sélectionnent une solution parmi toutes celles de l’équation. Sur une corde finie ou dans une cavité, les conditions au bord imposent en plus ce qui arrive aux extrémités ou aux parois.
La couleur, l’épaisseur et l’échelle d’un tracé ne font pas partie de l’équation. La fonction u, la valeur de c, le domaine, les données initiales et les conditions au bord suffisent à formuler le problème de propagation.
Un exemple, pas à pas
Considérons une corde idéale sur une droite. Son déplacement transversal u est mesuré en mètres, la position x en mètres et le temps t en secondes ; les formules emploient leurs valeurs numériques dans ces unités. L’amplitude vaut 0,02 m, la longueur d’onde vaut 1 m et la vitesse de propagation vaut c = 4 m/s. Choisissons une onde qui avance vers les x croissants.
1. Le nombre d’onde est .
2. La pulsation est . La fréquence obtenue est donc 4 Hz et la période 0,25 s.
2. La pulsation est . La fréquence obtenue est donc 4 Hz et la période 0,25 s.
3. Le déplacement s’écrit
4. Après 0,0625 s, le profil a parcouru 4 × 0,0625 = 0,25 m. La figure matérialise cette translation d’un quart de longueur d’onde, sans changement d’amplitude.
Le contrôle consiste à dériver deux fois. On obtient et . Comme c² = 16, l’égalité utt = c²uxx est vérifiée exactement.
En pratique
Pour une corde tendue uniforme soumise à de petits déplacements transversaux, l’équation à une dimension suit les vibrations et permet de relier longueur d’onde, fréquence et vitesse. Si la corde change fortement de masse ou de tension, un modèle à coefficients variables est préférable.
En acoustique linéaire, u peut représenter une petite variation de pression dans un milieu uniforme. Le modèle convient tant que la perturbation reste faible ; des chocs ou une dissipation marquée demandent des équations qui incluent ces effets.
En électromagnétisme, les champs vérifient une équation d’onde dans un milieu uniforme sans sources. Dès que des charges, des courants ou des interfaces comptent, les équations de Maxwell conservent les informations que la forme simplifiée ne porte plus.
En mécanique quantique, le terme « équation d’onde » couvre d’autres dynamiques. L’équation de Schrödinger usuelle comporte une dérivée première par rapport au temps : il faut donc identifier l’équation physique avant d’appliquer la relation classique utt = c²Δu.
À ne pas confondre
Équation des ondes et fonction d’onde. La première est une règle de propagation ; la seconde désigne en mécanique quantique un objet qui encode un état. Une fonction d’onde gouvernée par l’équation de Schrödinger n’obéit pas, en général, à utt = c²Δu : l’ordre de la dérivée temporelle tranche.
Équation des ondes et équation de la chaleur. Toutes deux utilisent un laplacien, mais la chaleur met en jeu une dérivée première en temps et lisse une perturbation. L’onde utilise une dérivée seconde en temps et admet les profils progressifs f(x − ct). Une impulsion qui se déplace sans s’étaler relève du second comportement idéal.
Limites et pièges
Vitesse nulle. Au cas charnière c = 0, l’équation devient utt = 0 : elle ne décrit plus la propagation du profil à une vitesse positive. Il faut traiter séparément cette évolution affine en temps.
Domaine borné. La formule f(x − ct) + g(x + ct) décrit directement la droite entière. Sur une corde finie, ses extrémités réfléchissent ou absorbent les ondes selon les conditions au bord. Il faut imposer ces conditions, puis construire les combinaisons compatibles.
Milieu non uniforme. Sortir c² devant le laplacien suppose ici une vitesse constante. Si les propriétés du milieu varient avec la position, remplacer simplement c par c(x) peut manquer des termes. Il faut repartir des lois du milieu et employer l’opérateur à coefficients variables qu’elles donnent.
Atténuation ou dispersion. L’équation classique conserve la forme de chaque onde progressive idéale. Une amplitude qui décroît ou des fréquences qui avancent à des vitesses différentes signalent des effets absents du modèle. Il faut alors ajouter les termes de dissipation ou de dispersion appropriés.
Pour aller plus loin
Dérivée partielle — Pour lire précisément les variations temporelles et spatiales de u.
laplacien d'une fonction — Pour approfondir l’opérateur spatial qui mesure la courbure locale.
série de Fourier — Pour décomposer des vibrations périodiques en modes sinusoïdaux.
Quand les ondes prennent la tangente — Pour prolonger la lecture par un article consacré aux ondes.
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