Helmoltz (équation de)

Imaginez une corde qui vibre régulièrement sans que son dessin d'ensemble se déplace. À certains endroits, elle reste immobile ; entre eux, elle oscille. Une photographie de ce profil spatial décrit une onde stationnaire.

L'équation de Helmholtz relie la courbure locale de ce profil à sa valeur. Le nombre d'onde indique à quel rythme le motif se répète dans l'espace : plus il est grand, plus les oscillations sont rapprochées.

L'équation de Helmholtz est une équation aux dérivées partielles pour une fonction inconnue notée u. Le laplacien, noté par la lettre grecque delta majuscule Δ, additionne les dérivées secondes spatiales de u. Le nombre d'onde réel, noté k, fixe l'échelle spatiale des oscillations. Ces objets vérifient :

Elle décrit la partie spatiale d'un phénomène harmonique stationnaire. En cherchant dans l'équation des ondes une solution séparée dont la dépendance temporelle est $e^{i\omega t}e^\{i\backslash omega\; t\}$, où ω est la pulsation et t le temps, on obtient une équation de Helmholtz pour u. Ce cadre apparaît notamment pour les ondes acoustiques, électromagnétiques et quantiques. Sur un domaine donné, des conditions au bord complètent l'équation. Sous la forme $-\mathrm{\Delta }u=k^{2}u-\backslash Delta\; u=k^2u$, certaines valeurs de k² et les fonctions associées deviennent des valeurs propres et des fonctions propres du laplacien.

Cinq éléments structurent un problème de Helmholtz. Le domaine précise l'espace où l'on cherche la solution. La fonction inconnue u y représente le profil spatial du phénomène. Le laplacien Δ mesure la somme de ses courbures selon les directions de l'espace. Le nombre d'onde réel k règle l'espacement des oscillations. Enfin, les conditions au bord indiquent le comportement imposé sur la frontière du domaine.

Le terme k²u doit compenser exactement le laplacien de u. Le domaine et ses conditions au bord déterminent en outre quelles formes sont admissibles et, dans un problème de valeurs propres, quelles valeurs de k sont possibles. La couleur ou l'échelle d'un tracé ne définissent donc pas l'équation ; la fonction, l'opérateur, le paramètre et les conditions mathématiques la définissent.

On étudie sur un segment de longueur 4 m le profil u d'une onde stationnaire. Le nombre d'onde vaut $k=\pi \mathrm{/}2k=\backslash pi/2$ rad·m⁻¹. Les extrémités imposent u(0) = 0 et u(4) = 0. On propose la fonction $u(x)=\sin (\pi x\mathrm{/}2)u(x)=\backslash sin(\backslash pi\; x/2)$, où x est la position en mètres.

1. En une dimension, le laplacien est la dérivée seconde.
2. Deux dérivations donnent $u^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-(\pi \mathrm{/}2{)}^2\sin (\pi x\mathrm{/}2)u\text{'}\text{'}(x)=-(\backslash pi/2)^2\backslash sin(\backslash pi\; x/2)$.
3. Comme $k^{2}u(x)=(\pi \mathrm{/}2{)}^2\sin (\pi x\mathrm{/}2)k^2u(x)=(\backslash pi/2)^2\backslash sin(\backslash pi\; x/2)$, les deux termes s'annulent.
4. Aux extrémités, sin(0) = 0 et sin(2π) = 0 : les conditions au bord sont satisfaites.

Le profil est donc une solution. Sa longueur d'onde vaut $\lambda =2\pi \mathrm{/}k=4\backslash lambda=2\backslash pi/k=4$ m. Un contrôle direct consiste à vérifier les cinq positions entières : les valeurs sont successivement 0, 1, 0, −1 et 0. La figure matérialise ce contrôle sans remplacer la substitution dans l'équation.

En acoustique, on emploie l'équation de Helmholtz pour une composante harmonique de pulsation fixée : même si la pression varie périodiquement au cours du temps, l'équation décrit son amplitude spatiale. Un signal général ou transitoire demande une superposition de composantes fréquentielles, ou l'équation des ondes qui conserve explicitement le temps.

Pour une onde électromagnétique, le même passage au domaine fréquentiel isole l'amplitude spatiale de chaque composante de pulsation fixée. Le critère pertinent est donc le contenu spectral, et non la simple présence d'une dépendance temporelle : une impulsion ou un signal non monochromatique se traite par superposition de fréquences ou avec l'équation temporelle.

En physique quantique, la recherche d'états stationnaires conduit également à des fonctions propres. On résout alors l'équation avec le domaine et les conditions au bord du problème, car l'expression différentielle seule ne sélectionne pas une solution unique.

Équation de Helmholtz et équation des ondes. La première porte sur un profil spatial à régime harmonique fixé ; la seconde conserve explicitement la variable temporelle. Une impulsion qui se propage relève de l'équation des ondes, tandis que son amplitude à une pulsation donnée peut relever de Helmholtz.

Nombre d'onde et pulsation. Le nombre d'onde k décrit la répétition dans l'espace ; la pulsation ω décrit la répétition dans le temps. Dans l'exemple, k = π/2 rad·m⁻¹ fixe une longueur d'onde de 4 m, sans donner à lui seul une période temporelle.

Le cas charnière k = 0. Le terme oscillatoire disparaît et l'équation devient Δu = 0. Il ne faut plus interpréter k comme donnant une longueur d'onde finie ; la formule 2π/k n'est alors pas définie.

Une équation sans conditions au bord. Plusieurs fonctions peuvent satisfaire la même équation différentielle. Si le calcul ne produit pas une solution déterminée, il faut préciser le domaine et les valeurs ou comportements imposés sur sa frontière.

Valeurs propres dépendantes du problème. L'écriture $-\mathrm{\Delta }u=k^{2}u-\backslash Delta\; u=k^2u$ ne suffit pas à dresser une liste universelle de valeurs de k. Un changement de domaine ou de conditions au bord change les fonctions admissibles et peut changer le spectre obtenu.

Une solution proposée doit passer deux tests. Vérifier seulement l'équation à l'intérieur du domaine ne suffit pas. Dans l'exemple, la sinusoïde annule bien les deux termes, mais elle doit aussi prendre la valeur 0 aux positions 0 m et 4 m.

Le laplacien d'une fonction précise l'opérateur qui mesure ici la courbure spatiale dans plusieurs directions.

L'équation des ondes montre le modèle dépendant du temps dont l'équation de Helmholtz fournit la version harmonique stationnaire.

La notion de valeur propre éclaire pourquoi certaines valeurs de k² sont sélectionnées par un domaine et ses conditions au bord.