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Cordes vibrantes (équation des)
L'équation des cordes vibrantes est une équation aux dérivées partielles du second ordre décrivant les petites oscillations transversales d'une corde tendue. Elle s'écrit sous la forme ∂²u/∂t² = c² ∂²u/∂x², où u(x,t) est le déplacement transversal, c est la vitesse de propagation des ondes et x est la coordonnée spatiale. Sa solution générale, donnée par la formule de d'Alembert, est la superposition de deux ondes se propageant en sens contraires. Ce modèle est fondamental en physique mathématique et en acoustique.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les grandeurs et les hypothèses de l'équation.
- Interpréter la solution comme deux ondes de sens contraires.
- Calculer exactement la fréquence fondamentale d'une corde de 1 m.
- Repérer les cas où le modèle simple doit être remplacé ou enrichi.
En clair
Pincez une corde tendue : chaque point s'écarte brièvement de sa position de repos, puis ce déplacement se transmet le long de la corde. L'équation des cordes vibrantes décrit cette évolution lorsque les écarts restent petits et transversaux, c'est-à-dire perpendiculaires à la corde au repos.
Le modèle relie deux variations : l'accélération d'un point au cours du temps et la courbure du profil au même endroit. Une bosse initiale peut ainsi être lue comme deux ondes qui partent en sens opposés à une même vitesse.
Définition
L'équation des cordes vibrantes est une équation aux dérivées partielles hyperbolique du second ordre. Le déplacement transversal est noté u. Il dépend de la position x le long de la corde et du temps t. La constante positive c représente la vitesse de propagation. Pour une corde homogène, soumise à une tension uniforme, à de petites oscillations et décrite sans amortissement ni force extérieure, ces grandeurs vérifient :
Sur une corde modélisée par toute la droite, la formule de d'Alembert écrit une solution suffisamment régulière comme . La fonction F décrit une onde allant vers les positions croissantes et la fonction G une onde allant en sens inverse. Sur une corde finie, les conditions aux extrémités complètent l'équation et sélectionnent les solutions admissibles. Les données initiales, position et vitesse de chaque point à l'instant de départ, déterminent alors l'évolution dans le cadre usuel du modèle.
De quoi c'est fait
Le modèle réunit cinq éléments. La corde fournit l'intervalle spatial sur lequel la position x est repérée. Le champ u(x,t) donne le déplacement transversal de chaque point à chaque instant. La vitesse c fixe la rapidité de transmission. Les données initiales donnent le profil et la vitesse de départ. Enfin, les conditions aux extrémités précisent, par exemple, si les deux bouts restent fixes.
L'équation relie la courbure spatiale du profil à son accélération temporelle, tandis que les conditions initiales choisissent une évolution parmi toutes les solutions possibles. Sur un segment, les conditions aux extrémités restreignent encore ce choix. La couleur ou l'épaisseur du tracé ne définissent pas le modèle ; la longueur, les données, la valeur de c et les conditions imposées suffisent à calculer le déplacement prédit.
Un exemple, pas à pas
Considérons une corde fixée à ses deux extrémités. Sa longueur L vaut 1 m, la vitesse de propagation c vaut 100 m/s et l'amplitude maximale A vaut 1 cm. À l'instant initial, la corde est immobile et forme une demi-sinusoïde.
1. Le profil qui respecte les deux extrémités fixes est . Son maximum est atteint au milieu, pour x = 0,5 m.
2. Pour ce mode fondamental, la longueur d'onde vaut deux fois la longueur de la corde, soit 2 m. La fréquence f vaut donc .
3. Le déplacement est . La période, durée d'une oscillation complète, est . Après 0,005 s, soit un quart de période, la corde passe par sa position de repos ; après 0,01 s, son profil est inversé.
Le résultat est une fréquence de 50 Hz. Le contrôle est refaisable avec la relation entre vitesse, fréquence et longueur d'onde : 50 Hz × 2 m = 100 m/s. Le profil initial correspondant peut être tracé point par point entre les deux extrémités fixes.
En pratique
En acoustique, le modèle relie la longueur d'une corde, la vitesse de propagation et les fréquences de ses modes. Si la rigidité de la corde ou l'amortissement devient perceptible, un modèle enrichi est préférable.
Pour une impulsion sur une corde très longue, la formule de d'Alembert sépare directement les deux ondes voyageuses. Sur une corde finie aux extrémités imposées, une décomposition en modes respecte mieux ces contraintes.
Dans une simulation, on compare le profil calculé à différents instants. Une solution analytique convient lorsque les données et les bords restent simples ; des méthodes numériques prennent le relais pour une vitesse variable ou des conditions plus complexes.
À ne pas confondre
Équation des cordes vibrantes et formule de d'Alembert. L'équation impose une relation entre dérivées ; la formule représente ses solutions sur la droite. Une corde finie avec des bouts fixes vérifie l'équation, mais ses deux ondes doivent aussi respecter les conditions aux bords.
Onde transversale et onde longitudinale. Dans le modèle présenté, le déplacement est perpendiculaire à la corde au repos. Si les points se déplacent dans la direction de propagation, le mouvement est longitudinal et cette interprétation de u ne convient plus.
Corde réelle et corde idéale. Une corde matérielle peut être rigide, amortie ou entraînée. L'équation simple ne conserve que les petites oscillations transversales d'une corde tendue ; un écart durable avec l'expérience signale qu'il faut enrichir le modèle.
Limites et pièges
Amplitude non petite. Dans l'exemple, la pente maximale vaut , valeur sans unité et petite devant 1. Il n'existe toutefois pas de seuil universel indépendant de la précision cherchée. Si la pente devient importante, la tension et la géométrie ne se laissent plus linéariser de la même façon ; il faut employer un modèle non linéaire adapté.
Vitesse non constante. La forme avec une constante c suppose un milieu homogène dans le modèle. Si la masse linéique ou la tension varie avec la position, une onde change localement de vitesse ; on remplace l'équation constante par une équation à coefficients variables.
Bords oubliés. La formule décrit la propagation sur la droite, mais ne fixe pas seule le comportement aux extrémités d'un segment. Si une solution déplace un bout déclaré fixe, elle doit être corrigée en imposant les conditions aux bords, par exemple avec des modes propres.
Données peu régulières. Un profil initial présentant un angle ou une discontinuité ne possède pas partout les dérivées classiques écrites dans l'équation. La propagation garde un sens dans un cadre de solution plus faible, mais on ne doit pas prétendre que toutes les dérivées secondes existent point par point.
Pour aller plus loin
Série de Fourier — Elle décompose le mouvement d'une corde finie en modes sinusoïdaux et relie profil initial, fréquences et évolution temporelle.
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