Télégraphistes (équations des)

Lorsqu’une tension change à l’entrée d’un long câble, l’autre extrémité ne réagit pas instantanément. Le signal avance le long de la ligne, tandis qu’une partie de son énergie peut être dissipée. À chaque position, la tension et l’intensité évoluent donc ensemble.

Les équations des télégraphistes décrivent cette évolution locale. Elles relient ce qui varie d’un point du câble au suivant à ce qui varie au cours du temps. On peut ainsi prévoir le retard du signal, son courant associé et, lorsque la ligne présente des pertes, son atténuation.

Les équations des télégraphistes modélisent une ligne de transmission par des grandeurs réparties tout au long de sa longueur. La position sur la ligne est notée x et le temps t. La tension V(x,t) est mesurée entre les deux conducteurs ; l’intensité I(x,t) est comptée dans le sens des x croissants. Par unité de longueur, R désigne la résistance série, L l’inductance série, G la conductance transversale et C la capacité transversale. Ces quatre paramètres sont supposés constants pour une ligne uniforme.

Avec ces conventions, le système s’écrit :La première relation traduit la chute de tension le long de la ligne. La seconde traduit l’échange de courant entre ses conducteurs. Un choix opposé pour l’orientation de x ou de I modifie les signes, mais pas le phénomène modélisé.

En éliminant l’une des deux inconnues, la tension et l’intensité satisfont chacune une équation d’onde avec pertes :Si R et G sont nuls, les termes de perte disparaissent : l’onde n’est alors pas amortie et sa vitesse vaut $v=1\mathrm{/}\sqrt{LC}v=1/\backslash sqrt\{LC\}$.

Considérons une ligne idéale de longueur 100 m, sans pertes : R = 0 et G = 0. Son inductance linéique vaut L = 250 nH/m et sa capacité linéique C = 100 pF/m. Une onde de tension de 1 V se propage vers l’extrémité. La figure matérialise le trajet auquel correspondent le retard et l’intensité calculés.

1. Convertissons les données : L = 250 × 10⁻⁹ H/m et C = 100 × 10⁻¹² F/m. Leur produit vaut exactement 25 × 10⁻¹⁸ s²/m².

2. La vitesse de propagation est donc :

3. Le retard sur 100 m est la longueur divisée par la vitesse :

4. L’impédance caractéristique de cette ligne idéale vaut :Pour l’onde qui avance, l’intensité associée est $I=V\mathrm{/}{Z}_0=1\mathrm{/}50=\mathrm{0,02}\mathrm{A}=20\mathrm{m}\mathrm{A}I=V/Z\_0=1/50=0\{,\}02\backslash \; \backslash mathrm\{A\}=20\backslash \; \backslash mathrm\{mA\}$. Le contrôle consiste à retrouver 1 V en calculant 50 Ω × 0,02 A.

Pour prévoir quand un signal atteint l’autre bout d’un câble, on calcule sa vitesse à partir de L et C, puis le retard lié à la longueur. Si ce retard est négligeable devant la durée caractéristique du signal, un modèle de circuit à éléments concentrés peut suffire.

Pour relier tension et intensité d’une onde progressive, on utilise l’impédance caractéristique de la ligne. Dans l’exemple, 1 V correspond à 20 mA sur une ligne idéale de 50 Ω. Si des pertes sont mesurables, il faut conserver R et G au lieu du modèle idéal.

Pour analyser une atténuation le long d’une ligne réelle, on estime les quatre paramètres répartis R, L, G et C, puis on résout le système avec les conditions imposées aux extrémités. Un simple calcul de retard ne remplace pas cette résolution lorsque l’amplitude ou la forme du signal varie sensiblement.

Une équation des ondes porte sur une seule grandeur et décrit sa propagation. Les équations des télégraphistes forment d’abord un système couplé pour la tension et l’intensité ; l’équation d’onde avec pertes apparaît après élimination de l’une d’elles.

La loi d’Ohm relie directement une tension, une intensité et une résistance dans un modèle concentré. Ici, V(x,t) et I(x,t) dépendent de la position et du temps. Un retard observable entre les deux extrémités impose de tenir compte de cette propagation.

Ligne sans pertes. Lorsque R = 0 et G = 0, le système donne l’équation des ondes ordinaire, sans amortissement. Décrire toute solution des télégraphistes comme une onde amortie serait donc faux ; il faut vérifier les paramètres de la ligne.

Orientation changée. Les signes du système dépendent du sens choisi pour x, la tension et l’intensité. Si un signe diffère d’une autre présentation, il faut comparer les conventions avant de conclure à une erreur.

Paramètres non uniformes. Les formules simples de l’exemple supposent L et C constants, ainsi que R = G = 0. Si les caractéristiques changent avec x, on conserve leur dépendance spatiale et on résout le système variable ; une vitesse unique ne décrit plus nécessairement toute la ligne.

Extrémités oubliées. Les équations locales ne déterminent pas seules le signal observé. Il faut aussi fournir l’état initial et les conditions aux extrémités. Deux lignes ayant les mêmes paramètres peuvent produire des évolutions différentes si elles ne sont pas alimentées ou terminées de la même manière.

La fiche Ondes (équation des) approfondit l’équation obtenue lorsque tension ou intensité est isolée du système couplé.

La fiche Dérivée partielle précise comment mesurer séparément les variations selon la position et selon le temps.

La fiche Heaviside Oliver replace le développement de ces équations dans le parcours du mathématicien cité par la définition.