AnalyseOutil · Glossaire
abaque de Smith
Technique graphique utilisée en électronique pour l'étude des lignes de transmission, l'abaque de Smith établit une correspondance entre les ondes guidées incidentes et réfléchies le long d'un guide de propagation, à partir de l'impédance de charge Z normalisée par l'impédance caractéristique de référence Z0. Il repose sur la transformation conforme Γ = (z−1)/(z+1), représentée à l'intérieur du disque unité. Inventé par Philipp Hagar Smith en 1939, il reste aujourd'hui un outil fondamental en hyperfréquences.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier l’impédance normalisée au coefficient de réflexion.
- Lire résistance, réactance, module et phase dans le disque.
- Vérifier un exemple de ligne 50 Ω terminée par une charge de 100 Ω.
- Reconnaître les conventions et les cas qui sortent du disque passif.
En clair
Imaginez un signal envoyé dans un câble : si l’impédance rencontrée au bout ne convient pas à la ligne, une partie du signal revient vers la source. L’abaque de Smith transforme ce va-et-vient en un point dans un disque. Le centre correspond à l’accord parfait, sans onde réfléchie. Plus le point s’éloigne du centre, plus la réflexion est forte. Sa direction indique le déphasage entre l’onde qui revient et celle qui arrive.
Définition
L’abaque de Smith est une représentation du coefficient de réflexion d’une ligne de transmission en fonction de son impédance. Dans le cas standard où l’impédance caractéristique de la ligne Z0 est réelle et strictement positive, on divise d’abord l’impédance complexe de la charge, notée Z, par Z0. On obtient l’impédance normalisée z = Z/Z0. Le coefficient de réflexion, noté Γ, est alors donné par la transformation :
Le module de Γ compare l’amplitude de l’onde réfléchie à celle de l’onde incidente ; son argument donne leur déphasage. Pour une charge passive, le point reste dans le disque unité, où |Γ| ≤ 1. Les résistances normalisées constantes forment des cercles et les réactances normalisées constantes des arcs. Leur réseau permet de retrouver graphiquement une impédance complexe, de suivre sa transformation le long d’une ligne et de rechercher un accord proche du centre, où Γ = 0 et Z = Z0.
Où on le rencontre
On rencontre l’abaque de Smith sur l’écran d’un analyseur de réseau, dans un logiciel de simulation radiofréquence ou sur une feuille de calcul d’adaptation. Il se reconnaît à son grand cercle extérieur, à un axe horizontal passant par le centre, à des familles de cercles décalés vers la droite et à des arcs symétriques au-dessus et au-dessous de l’axe. Un point ou une trajectoire y représente l’impédance d’un dispositif, ou son coefficient de réflexion, à une fréquence donnée ou sur une plage de fréquences.
Le mode d'emploi
La grandeur directement placée dans le disque est le coefficient de réflexion Γ ; le quadrillage permet d’y lire l’impédance normalisée correspondante.
1. Repérez le cercle de résistance normalisée constante.
2. Repérez l’arc de réactance normalisée constante : la moitié supérieure correspond aux réactances positives, l’inférieure aux négatives.
3. Leur intersection donne z ; multipliez ses parties réelle et imaginaire par Z0 pour retrouver Z.
4. Lisez |Γ| comme la distance au centre, avec un rayon extérieur égal à 1, et l’argument de Γ comme l’angle autour du centre.
2. Repérez l’arc de réactance normalisée constante : la moitié supérieure correspond aux réactances positives, l’inférieure aux négatives.
3. Leur intersection donne z ; multipliez ses parties réelle et imaginaire par Z0 pour retrouver Z.
4. Lisez |Γ| comme la distance au centre, avec un rayon extérieur égal à 1, et l’argument de Γ comme l’angle autour du centre.
Un point visuellement proche du bord n’indique donc pas une grande résistance à lui seul : il peut aussi traduire une forte réactance. Il faut toujours lire ensemble les deux familles de courbes, puis vérifier la normalisation choisie.
Un exemple, pas à pas
Prenons une ligne idéale d’impédance caractéristique Z0 = 50 Ω, terminée par une charge purement résistive Z = 100 Ω. La réactance de la charge vaut donc 0 Ω. Le dessin associé montre le point obtenu sur l’axe horizontal.
1. Normalisation : z = 100/50 = 2.
2. Coefficient de réflexion : Γ = (2 − 1)/(2 + 1) = 1/3.
3. Part de puissance réfléchie : |Γ|2 = 1/9 ≈ 11,1 %.
4. Rapport d’ondes stationnaires, noté ROS : (1 + |Γ|)/(1 − |Γ|) = 2.
2. Coefficient de réflexion : Γ = (2 − 1)/(2 + 1) = 1/3.
3. Part de puissance réfléchie : |Γ|2 = 1/9 ≈ 11,1 %.
4. Rapport d’ondes stationnaires, noté ROS : (1 + |Γ|)/(1 − |Γ|) = 2.
Le point se situe ainsi à un tiers du rayon, à droite du centre, sur le cercle de résistance normalisée 2 et sur l’axe de réactance nulle. Le contrôle inverse redonne z = (1 + Γ)/(1 − Γ) = 2, puis Z = 2 × 50 Ω = 100 Ω.
En pratique
Sur un analyseur de réseau, l’ingénieur suit la trace de Γ lorsque la fréquence varie. Si seule l’amplitude de la réflexion importe, une courbe de perte de retour est plus directe ; l’abaque est préférable dès que la phase et l’impédance doivent être lues ensemble.
Pour adapter une charge à une ligne, on place son point puis on suit les transformations produites par des tronçons de ligne ou des composants réactifs. Un calcul numérique devient préférable quand il faut optimiser simultanément de nombreuses fréquences et contraintes.
Pour diagnostiquer un circuit hyperfréquence, la position et la trajectoire du point distinguent rapidement un défaut surtout résistif d’un défaut surtout réactif. Une mesure scalaire ne suffit pas à cette distinction, car elle perd l’information de phase.
À ne pas confondre
Avec un simple diagramme polaire. Les deux placent un nombre complexe par un rayon et un angle, mais l’abaque ajoute le réseau des résistances et réactances normalisées. Si l’on peut lire directement z à l’intersection de ces courbes, il s’agit bien d’un abaque de Smith.
Avec l’impédance caractéristique de la ligne. Z0 sert de référence de normalisation ; Z décrit la charge ou l’impédance observée. Dans l’exemple, Z0 vaut 50 Ω et Z vaut 100 Ω : le quotient (Z−Z0)/(Z+Z0) donne Γ = 1/3.
Limites et pièges
Le bord n’est pas une valeur unique. À droite, Γ = 1 correspond à une impédance normalisée qui tend vers l’infini ; à gauche, Γ = −1 correspond à z = 0. Entre les deux, le bord rassemble des charges purement réactives. Il faut donc lire l’angle, pas seulement |Γ| = 1.
Une charge active peut sortir du disque. Si l’amplitude réfléchie dépasse l’amplitude incidente, |Γ| > 1 et le point n’appartient plus à l’abaque passif usuel. Il faut employer une représentation étendue et vérifier la stabilité du dispositif.
La convention doit être vérifiée. Un abaque d’admittance utilise la grandeur inverse y = 1/z. À coefficient de référence identique, son point est diamétralement opposé au point d’impédance. Confondre les deux réseaux fait choisir le mauvais composant d’adaptation.
Une trajectoire dépend du modèle de ligne. Sur une ligne idéale sans pertes, se déplacer le long de la ligne conserve |Γ|. Avec des pertes, l’amplitude évolue aussi et la trajectoire n’est plus un cercle centré. Le modèle et le sens du déplacement doivent accompagner la lecture.
Pour aller plus loin
Des nombres pas si complexes. Cet article consolide la lecture du module et de l’argument, les deux coordonnées qui décrivent Γ dans l’abaque.
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