GéométrieNotion · Glossaire
paraboloïde de révolution
Le paraboloïde de révolution est la surface engendrée par la rotation d'une parabole autour de son axe de symétrie. Sa forme réfléchit vers le foyer tout rayon parallèle à cet axe et, réciproquement, renvoie parallèlement un rayon issu du foyer, d'où son utilité dans les antennes, les projecteurs et les fours solaires.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Visualiser la rotation d'une parabole autour de son axe.
- Relier l'équation canonique à la position du foyer.
- Calculer une distance focale à partir du rayon et de la profondeur d'un réflecteur.
- Distinguer la parabole, le paraboloïde elliptique et le paraboloïde de révolution.
- Reconnaître les conditions nécessaires à la concentration des rayons.
En clair
Imaginez une parabole dessinée sur une plaque, puis la plaque tournant autour de la droite qui partage la courbe en deux. La trace balayée forme une surface en bol, parfaitement ronde autour de cet axe : un paraboloïde de révolution.
Sa forme guide vers un même foyer les rayons qui arrivent parallèlement à l'axe. Le trajet fonctionne aussi en sens inverse : une source placée au foyer produit, après réflexion, des rayons parallèles.
Définition
Un paraboloïde de révolution est une surface obtenue en faisant tourner une parabole autour de son axe de symétrie. Dans un repère où le sommet est l'origine et où l'axe est vertical, les coordonnées horizontales sont notées x et y, la hauteur est notée z, et la distance positive du sommet au foyer est notée f. La surface ouverte vers le haut a alors pour équation :
Chaque plan contenant l'axe découpe la surface suivant une parabole de foyer situé sur l'axe, à la distance f du sommet. Chaque plan perpendiculaire à l'axe la découpe, lorsqu'il la rencontre au-dessus du sommet, suivant un cercle. Cette symétrie explique la propriété de réflexion : dans toute coupe axiale, un rayon parallèle à l'axe est renvoyé vers le même foyer. La réciproque vaut selon le même trajet optique.
Un exemple, pas à pas
Considérons un réflecteur de diamètre 2 m et de profondeur 0,25 m. Son sommet est pris pour origine, son axe est vertical, son rayon d'ouverture R vaut 1 m et sa profondeur d vaut 0,25 m. La distance focale cherchée est notée f.
1. Dans une coupe par l'axe, le bord du réflecteur est le point de coordonnées horizontale R et verticale d.
2. L'équation de la parabole donne la relation suivante :
3. On isole la distance focale :
4. Avec R = 1 m et d = 0,25 m, on obtient f = 1 m.
2. L'équation de la parabole donne la relation suivante :
3. On isole la distance focale :
4. Avec R = 1 m et d = 0,25 m, on obtient f = 1 m.
Le foyer se trouve donc sur l'axe, 1 m au-dessus du sommet. Le contrôle consiste à replacer R = 1 m et f = 1 m dans l'équation : la hauteur du bord vaut bien 1²/(4 × 1) = 0,25 m. La coupe axiale permet aussi de suivre deux rayons parallèles à l'axe jusqu'à leur réflexion vers ce foyer.
En pratique
Dans une antenne parabolique, le réflecteur dirige vers le foyer les ondes reçues parallèlement à son axe. On choisit cette forme lorsqu'il faut concentrer la réception en un point plutôt qu'employer un réflecteur plan, qui change la direction sans assurer cette convergence.
Dans un four solaire, la même géométrie concentre au foyer des rayons solaires presque parallèles. Un miroir plan convient pour dévier la lumière ; le paraboloïde est préféré lorsque le critère recherché est sa concentration en une petite zone.
Dans un projecteur, le trajet est inversé : la source est placée près du foyer afin que les rayons réfléchis ressortent parallèles à l'axe. La position de la source se règle donc par rapport au foyer, et non au centre apparent du réflecteur.
Une autre observation se fait avec un liquide dans un cylindre vertical en rotation rapide. Lorsque le mouvement est stabilisé, la surface libre se creuse autour de l'axe et prend la forme d'un paraboloïde de révolution.
À ne pas confondre
Le nom décrit à la fois une forme parabolique et une symétrie de rotation. Deux distinctions permettent de vérifier de quel objet il s'agit.
Parabole
Une parabole est une courbe plane ; un paraboloïde de révolution est une surface de l'espace. Une coupe du réflecteur par son axe donne une parabole, tandis que la rotation complète de cette courbe engendre le paraboloïde.
Paraboloïde elliptique quelconque
Un paraboloïde elliptique peut avoir des coupes horizontales elliptiques. Il n'est de révolution que si ces coupes sont des cercles centrés sur un même axe. Une ellipse non circulaire suffit donc à écarter la symétrie de révolution.
Limites et pièges
La propriété focale suppose une géométrie et un alignement précis. Les situations suivantes indiquent où une lecture trop rapide devient trompeuse.
Une portion n'est pas un nouveau foyer
Un réflecteur réel peut n'être qu'une portion tronquée de la surface. Couper le paraboloïde change son ouverture, mais pas le foyer de la surface initiale. Il faut retrouver le sommet et l'axe du modèle complet avant de mesurer la distance focale.
Parallèle signifie parallèle à l'axe
Des rayons parallèles entre eux mais inclinés par rapport à l'axe ne convergent pas tous exactement au foyer axial. Le symptôme est une concentration décalée ou étalée. Il faut aligner l'axe du paraboloïde avec la direction des rayons incidents.
Une distance focale strictement positive
Dans le modèle z = (x² + y²)/(4f), la distance f doit être strictement positive pour un paraboloïde ouvert vers le haut. À f = 0, l'équation n'est plus définie : il ne faut ni annoncer un foyer au sommet ni poursuivre le calcul.
Le liquide doit avoir atteint un régime stable
Pendant l'accélération du cylindre, des vagues peuvent masquer la forme attendue. L'observation du paraboloïde porte sur la surface libre stabilisée autour d'un axe vertical ; une surface encore oscillante ne permet pas d'en relever correctement le profil.
Pour aller plus loin
La fiche parabole approfondit la courbe génératrice et son foyer, point de départ de la construction par rotation.
La fiche axe de symétrie précise la droite autour de laquelle la parabole tourne et qui porte le foyer.
La fiche Réflexion prolonge l'étude du trajet des rayons utilisé par les antennes, les fours solaires et les projecteurs.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres