Réflexion

Imaginez un triangle dessiné à droite d'une ligne verticale. Sa réflexion place une copie à gauche : chaque sommet traverse la ligne à angle droit et s'arrête à la même distance de l'autre côté. La forme et les longueurs ne changent pas, mais l'orientation s'inverse, comme dans un miroir.

La ligne reste immobile. Si l'on applique une seconde fois la même transformation, chaque point revient exactement à sa position initiale.

Dans un espace euclidien, une réflexion par rapport à un hyperplan H est la transformation qui fixe chaque point de H. Pour tout autre point P, elle donne un point P′ tel que le segment PP′ soit perpendiculaire à H et que son milieu appartienne à H. Elle conserve toutes les distances : c'est donc une isométrie. Elle est involutive, car la composer avec elle-même donne l'identité.

En dimension 2, l'hyperplan est une droite, appelée axe, et la réflexion est une symétrie axiale. Une seule réflexion inverse l'orientation. Plus généralement, une isométrie directe se décompose en un nombre pair de réflexions, tandis qu'une isométrie indirecte se décompose en un nombre impair. Cette parité ne fixe pas un nombre unique de facteurs : deux réflexions identiques supplémentaires ne changent pas la transformation obtenue.

Dans une algèbre de Clifford, la réflexion associée à un vecteur non nul fournit une opération élémentaire. La composition de telles opérations décrit notamment les rotations de l'espace, ce qui relie la géométrie euclidienne à un calcul algébrique.

Dans un repère orthonormé, on réfléchit le triangle ABC par rapport à l'axe vertical d'équation x = 0. Données : A a pour coordonnées (1 ; 1), B (4 ; 1) et C (2 ; 3). L'axe est la droite x = 0.

1. La réflexion conserve l'ordonnée et remplace l'abscisse par son opposé. Pour un point de coordonnées (x ; y), la règle est : $s(x,y)=(-x,y)s(x,y)=(-x,y)$.

2. On obtient A′(−1 ; 1), B′(−4 ; 1) et C′(−2 ; 3). Les trois images forment le triangle A′B′C′. La figure rend visibles les segments perpendiculaires à l'axe qui relient les sommets correspondants.

3. On contrôle A et A′ : leur segment est horizontal, son milieu est (0 ; 1), et chacun se trouve à une unité de l'axe. Le même contrôle donne quatre unités pour B et B′, puis deux unités pour C et C′.

Le résultat est bien une réflexion : les longueurs du triangle sont conservées, l'axe partage chaque paire de sommets en deux moitiés égales et une seconde application redonne A, B et C.

Pour construire le symétrique d'une figure, on trace par chaque point utile la perpendiculaire à l'axe, puis on reporte la même distance de l'autre côté. Si la symétrie porte autour d'un point plutôt que d'une droite, il faut employer une symétrie centrale.

Dans un repère, un axe simple permet souvent de calculer sans dessin. Par rapport à x = 0, l'abscisse change de signe ; par rapport à y = 0, c'est l'ordonnée. Pour un axe oblique, la construction par projection perpendiculaire évite de deviner les coordonnées.

Pour reconnaître le type d'une isométrie, on observe l'orientation. Une orientation inversée signale qu'une décomposition requiert un nombre impair de réflexions ; une orientation conservée conduit à un nombre pair, comme pour une rotation obtenue avec deux axes sécants.

Réflexion et symétrie centrale. Une réflexion plane fixe tous les points d'une droite et inverse l'orientation. Une symétrie centrale fixe un point et, dans le plan, conserve l'orientation. Un triangle retourné de 180° autour d'un centre relève donc de la symétrie centrale.

Réflexion géométrique et réflexion de la lumière. La première est une transformation de points définie par un axe ou un hyperplan. La seconde décrit le changement de direction d'un rayon sur une surface. La présence d'angles d'incidence et de réflexion signale le phénomène optique.

Réflexion et rotation. Une réflexion unique possède un hyperplan de points fixes et inverse l'orientation. Une rotation plane non triviale possède un centre fixe et conserve l'orientation. Deux réflexions d'axes sécants peuvent toutefois se composer en une rotation.

Un « axe » seulement dans le plan. En dimension 3, le miroir d'une réflexion ordinaire est un plan, et en dimension n un hyperplan. Chercher systématiquement une droite fixe hors du plan donne donc le mauvais objet.

Cas affine ou linéaire. Une réflexion par rapport à un hyperplan qui ne passe pas par l'origine est une isométrie affine, mais pas une application linéaire. Pour utiliser une matrice seule, il faut choisir un hyperplan passant par l'origine ou ajouter le terme de translation approprié.

Nombre de facteurs non unique. La parité des réflexions détecte l'orientation, pas une longueur unique de décomposition. Ajouter deux fois la même réflexion laisse le produit inchangé, puisque cette transformation appliquée deux fois est l'identité.

Ordre des compositions. Des réflexions d'axes différents ne se composent généralement pas dans n'importe quel ordre. Pour éviter une rotation ou une translation inverse de celle attendue, il faut appliquer les transformations dans l'ordre écrit et contrôler l'image d'un point témoin.

La notion de transformation géométrique replace la réflexion parmi les applications qui déplacent les points tout en préservant certaines propriétés.

La symétrie centrale permet de comparer deux transformations parfois confondues et de distinguer clairement leurs ensembles de points fixes.

L'algèbre de Clifford prolonge l'étude en donnant un cadre algébrique où les réflexions servent à construire des rotations.