concept de symétrie

Tracez une tache d’encre sur une feuille, pliez la feuille et rouvrez-la. La seconde empreinte se trouve à la même distance du pli, mais de l’autre côté. Le pli joue le rôle d’un axe de symétrie.

Une symétrie est donc une transformation sous laquelle l’objet observé reste invariant : son image coïncide avec lui. Elle peut déplacer les points de cet objet sans le modifier dans son ensemble. Selon le contexte, l’objet invariant peut être une figure, un motif, une loi ou une structure plus abstraite.

Une symétrie d’un objet est une transformation qui laisse cet objet invariant : après transformation, l’ensemble de ses points coïncide avec l’ensemble initial. En géométrie euclidienne, les symétries orthogonales et centrales sont des isométries, car elles conservent les distances. Une figure peut toutefois ne posséder aucune symétrie non triviale, ou en posséder plusieurs.

Dans le plan, la symétrie centrale de centre O envoie chaque point M sur le point M′ tel que O soit le milieu de [MM′] ; elle équivaut à une rotation de π radians. La symétrie orthogonale par rapport à une droite D, aussi appelée symétrie axiale, fixe chaque point de D ; pour tout point M situé hors de D, la droite D est la médiatrice de [MM′]. Elle renverse l’orientation du plan. Dans l’espace, une symétrie axiale est au contraire une rotation de π autour d’une droite et conserve l’orientation. La symétrie par rapport à un plan P place P comme plan médiateur de [MM′] et renverse l’orientation de l’espace.

Le mot s’étend au-delà des isométries. Une symétrie oblique d’axe D et de direction d, avec d non parallèle à D, impose que MM′ soit parallèle à d et que son milieu appartienne à D ; elle ne conserve les distances que lorsque la direction est perpendiculaire à l’axe. Dans un espace vectoriel, une symétrie est un endomorphisme s qui, appliqué deux fois, redonne tout vecteur : $s\circ s=\mathrm{id}s\; \backslash circ\; s\; =\; \backslash operatorname\{id\}$. En algèbre, une fonction symétrique ne change pas lorsqu’on permute ses variables. En physique comme en théorie des groupes, on étudie les transformations qui laissent invariant l’objet ou les lois considérés ; la théorie des groupes organise leur composition.

Construisons l’image du point M de coordonnées (3 ; 2) par la symétrie orthogonale d’axe D, la droite verticale d’équation x = 0.

Les données sont le point M(3 ; 2), l’axe D et l’unité du repère. La coordonnée horizontale de M vaut 3 et sa coordonnée verticale vaut 2.

1. Tracez par M la perpendiculaire à D. Elle rencontre D au point H de coordonnées (0 ; 2).

2. Mesurez la distance horizontale MH : elle vaut 3 unités.

3. Placez M′ sur la même perpendiculaire, de l’autre côté de D, à 3 unités de H. Sa coordonnée verticale reste 2 et sa coordonnée horizontale devient −3.

Le résultat est M′(−3 ; 2). La construction rend visibles les deux segments égaux [MH] et [HM′], ainsi que leur perpendicularité à l’axe D.

Contrôle : le milieu de M(3 ; 2) et M′(−3 ; 2) a pour coordonnées (0 ; 2). Il appartient bien à D, et les deux points sont chacun à 3 unités de cet axe.

Pour compléter une figure sur quadrillage, on trace par chaque point une perpendiculaire à l’axe, puis on reporte la même distance de l’autre côté. Si un demi-tour autour d’un point superpose plutôt les deux parties, il faut employer une symétrie centrale.

Dans un repère, la réflexion par rapport à l’axe vertical conserve la coordonnée verticale et change le signe de la coordonnée horizontale. Ce calcul remplace avantageusement une construction lorsque les coordonnées sont connues. Pour un axe oblique, une construction perpendiculaire ou une formule adaptée est nécessaire.

Pour tester la symétrie d’un motif, on applique la transformation candidate à tous ses éléments, pas seulement à quelques points suggestifs. Si l’image entière coïncide avec le motif initial, la transformation est une symétrie du motif ; sinon, la ressemblance visuelle ne suffit pas.

Symétrie et axe de symétrie. La symétrie est la transformation ; l’axe est la droite qui reste fixe point par point lors d’une réflexion plane. Dans l’exemple, D est l’axe, tandis que l’opération envoie M sur M′.

Symétrie et translation. Une translation déplace tous les points selon le même vecteur et n’a aucun point fixe si ce vecteur n’est pas nul. Une réflexion fixe au contraire tous les points de son axe et renverse l’orientation du plan.

Figure symétrique et figures seulement superposables. Deux figures peuvent être superposables par un déplacement sans constituer les deux moitiés d’une même figure symétrique. Le critère décisif est qu’une transformation précise laisse l’objet entier invariant.

Points fixes. Un point situé sur l’axe d’une réflexion, ou sur le plan d’une symétrie de l’espace, est sa propre image. Deux points confondus ne signalent donc pas un échec de la construction ; il faut constater que leur distance au support vaut zéro.

Une figure, plusieurs symétries. Un carré possède quatre axes de symétrie et une symétrie centrale, tandis qu’un triangle quelconque n’a aucune symétrie non triviale. Tester un seul axe apparent ne suffit pas à inventorier les transformations qui laissent une figure inchangée.

Le mot « axiale » dépend de la dimension. Dans le plan, il désigne couramment une réflexion par rapport à une droite, qui renverse l’orientation. Dans l’espace, une symétrie d’axe D est une rotation de π autour de D, qui conserve l’orientation. Il faut donc préciser le cadre.

Involution ne signifie pas toujours isométrie. Une symétrie vectorielle ou oblique, appliquée deux fois, redonne le point initial, mais elle peut modifier les distances. Avant d’utiliser une longueur conservée, il faut vérifier que la transformation considérée est bien une isométrie.

Réflexion — Approfondir la transformation qui fixe une droite ou un plan et échange les points situés de part et d’autre.

translation — Comparer une isométrie sans point fixe à la réflexion et à la symétrie centrale.

Des transformations géométriques en groupes — Voir comment la composition des transformations conduit à la structure de groupe annoncée dans la définition.