symétrie oblique

Imaginez un point situé hors de l’axe qui glisse le long d’une droite inclinée jusqu’à traverser cet axe. Il poursuit exactement le même trajet de l’autre côté, sur la même distance. Sa position de départ et sa position d’arrivée ont donc leur milieu sur l’axe. Un point situé sur l’axe, lui, reste fixe.

Cette construction donne l’image du point par symétrie oblique. Le déplacement suit une direction fixée, qui n’est pas nécessairement perpendiculaire à l’axe. La figure peut alors paraître penchée ou étirée, même si chaque point situé hors de l’axe et son image restent placés de part et d’autre de l’axe selon la même règle.

Dans le plan, on fixe une droite appelée axe, notée (D), et une droite qui donne la direction, notée (d). Ces deux droites doivent être non parallèles. Pour un point M, la parallèle à (d) passant par M coupe alors (D) en un unique point P. L’image M′ est le point de cette parallèle tel que P soit le milieu du segment MM′. Tous les points de (D) sont fixes, et appliquer deux fois la transformation ramène au point initial.

Dans un repère où (D) est l’axe horizontal et où la direction (d) est portée par le vecteur de coordonnées (1 ; 1), les coordonnées (x ; y) de M et les coordonnées (x′ ; y′) de M′ sont liées par :

La transformation est affine : elle conserve notamment les barycentres. Si (D) et (d) sont perpendiculaires, on retrouve la symétrie orthogonale. Sinon, les distances et les angles ne sont généralement pas conservés ; une figure est déformée.

Prenons pour axe (D) l’axe horizontal, pour direction (d) la droite portée par le vecteur de coordonnées (1 ; 1), et le point M de coordonnées (1 ; 2). La construction représentée permet de contrôler chaque valeur.

1. La parallèle à (d) passant par M est décrite par les coordonnées (1 + t ; 2 + t), où le nombre t repère le déplacement le long de cette droite.

2. Sur l’axe (D), la seconde coordonnée vaut 0. L’égalité 2 + t = 0 donne t = −2, donc le point d’intersection P a pour coordonnées (−1 ; 0).

3. Puisque P est le milieu de M et M′, les coordonnées de M′ valent deux fois celles de P moins celles de M. On obtient M′ de coordonnées (−3 ; −2).

4. Le contrôle est direct : le milieu de M(1 ; 2) et M′(−3 ; −2) est bien P(−1 ; 0), situé sur (D). De plus, le vecteur allant de M à M′ a pour coordonnées (−4 ; −4), donc il est parallèle à (d).

Pour construire l’image d’un point, on trace par ce point la parallèle à la direction choisie, puis on repère son intersection avec l’axe. On reporte ensuite la même distance de l’autre côté. Si le déplacement doit être perpendiculaire à l’axe, la symétrie orthogonale est l’alternative adaptée.

Dans un calcul en coordonnées, on détermine d’abord le point où la parallèle rencontre l’axe, puis on utilise la condition de milieu. Cette démarche est préférable à une lecture visuelle dès que l’inclinaison rend la figure trompeuse.

Pour vérifier une construction, deux tests suffisent : le milieu doit appartenir à l’axe et le segment joignant un point à son image doit suivre la direction imposée. L’égalité des distances à l’axe est nécessaire, mais ne suffit pas à elle seule. La symétrie orthogonale se distingue par la perpendicularité du segment joignant un point à son image avec l’axe.

La symétrie orthogonale impose que les segments joignant les points à leurs images soient perpendiculaires à l’axe. Elle conserve les distances. Si la direction est inclinée par rapport à l’axe, la symétrie est oblique et une longueur peut changer.

Une projection envoie un point sur l’axe ou sur une autre droite et n’échange généralement pas deux points. La symétrie oblique place au contraire l’axe au milieu de chaque paire et ramène au point initial lorsqu’on l’applique deux fois.

La symétrie centrale est déterminée par un centre, et non par un axe accompagné d’une direction. Elle possède un unique point fixe, son centre. Une symétrie d’axe possède au contraire toute une droite de points fixes ; elle est oblique lorsque la direction imposée n’est pas perpendiculaire à cet axe.

Si la direction (d) est parallèle à l’axe (D), la construction ne définit pas une transformation de tout le plan. Pour un point hors de l’axe, la parallèle ne rencontre jamais (D). Il faut choisir une direction non parallèle à l’axe.

Lorsque la direction devient exactement perpendiculaire à l’axe, le cas charnière est la symétrie orthogonale. L’affirmation « les distances sont déformées » n’est alors plus valable : toutes les distances sont conservées.

Une figure peut sembler presque inchangée lorsque la direction est proche de la perpendiculaire. L’impression visuelle ne suffit pourtant pas : il faut contrôler le parallélisme des segments MM′ avec (d) et la position de leurs milieux sur (D).

La fiche symétrie orthogonale précise le cas perpendiculaire et explique pourquoi les distances y sont conservées.

La fiche application affine replace cette symétrie parmi les transformations qui respectent les combinaisons affines.

La fiche barycentre approfondit la notion de point d’équilibre préservée par toute transformation affine.