affinité orthogonale

Imaginez une feuille traversée par une droite qui ne bouge pas. Chaque point de la feuille glisse uniquement dans une direction perpendiculaire à cette droite. Son écart à la droite est multiplié par un même nombre : il peut s'allonger, se raccourcir ou changer de côté.

Cette déformation est une affinité orthogonale. Les points situés sur l'axe restent fixes, tandis que tous les autres suivent des trajectoires parallèles entre elles.

Dans le plan, une affinité orthogonale est déterminée par une droite appelée axe, notée D, et par un nombre réel appelé rapport, noté k. La direction de l'affinité est la direction perpendiculaire à D.

Pour un point M, le point H désigne son projeté orthogonal sur D. L'image de M, notée M′, appartient à la perpendiculaire à D passant par H et satisfait $\overrightarrow{H{M}^{\mathrm{\prime }}}=k\overrightarrow{HM}\backslash overrightarrow\{HM\text{'}\}=k\backslash ,\backslash overrightarrow\{HM\}$. Ainsi, la composante parallèle à l'axe est conservée et la composante perpendiculaire est multipliée par k. Tout point de D est fixe.

Si M n'appartient pas à D, M et M′ sont du même côté de D lorsque k est positif, et de côtés opposés lorsque k est négatif. Pour k = 1, la transformation est l'identité ; pour k = −1, c'est la symétrie orthogonale d'axe D. Le cas k = 0 envoie chaque point M sur son projeté H dans D : selon les conventions, cette projection orthogonale est incluse comme cas dégénéré ou exclue du mot « affinité ». Lorsque k est non nul, la transformation est bijective et son inverse a pour rapport 1/k.

Prenons pour axe D la droite horizontale d'équation y = 0 et pour rapport k = −1/2. Le point choisi est M de coordonnées (2 ; 4). Son projeté orthogonal sur D est H de coordonnées (2 ; 0).

1. Le vecteur allant de H à M vaut (0 ; 4).
2. On le multiplie par le rapport : $-\frac{1}{2}(0;4)=(0;-2)-\backslash frac\{1\}\{2\}(0;4)=(0;-2)$.
3. On ajoute ce nouveau vecteur aux coordonnées de H : le point image est M′ de coordonnées (2 ; −2).

Le résultat se contrôle directement : M est à 4 unités de D, M′ est à 2 unités de D, sur l'autre demi-plan. La distance a donc été divisée par 2 et le signe négatif du rapport a bien inversé le côté. La figure matérialise ces deux vérifications et l'angle droit en H.

Pour construire l'image d'une figure, on projette chacun de ses points sur l'axe, puis on multiplie son écart perpendiculaire par le même rapport. Cette procédure convient lorsqu'un axe doit rester point par point immobile.

Dans un repère dont D est l'axe des abscisses, le calcul conserve la première coordonnée et multiplie la seconde par k. Une homothétie est préférable si toutes les directions doivent être agrandies dans la même proportion autour d'un centre.

Pour reconnaître la transformation sur un dessin, on vérifie trois indices : les points de D ne bougent pas, les segments reliant chaque point à son image sont perpendiculaires à D, et, pour les points hors de D, le rapport orienté des écarts reste constant.

Avec une homothétie. Une homothétie fixe un centre et multiplie toutes les directions par un même rapport. Une affinité orthogonale fixe toute une droite et ne modifie que la composante perpendiculaire à cet axe. Un segment parallèle à D garde donc sa longueur, ce qui tranche entre les deux transformations lorsque la valeur absolue du rapport n'est pas 1.

Avec une transformation orthogonale. Une transformation orthogonale conserve les longueurs et les angles. Une affinité orthogonale porte ce nom parce que sa direction est perpendiculaire à son axe ; elle déforme en général longueurs et angles dès que |k| ≠ 1.

Rapport égal à zéro. Tous les points se rabattent sur leur projeté H. La transformation n'est plus bijective ; il faut préciser si la convention adoptée accepte cette projection comme affinité dégénérée.

Rapport égal à un. Aucun point ne bouge : l'axe et la direction ne suffisent pas à produire une déformation visible. Le résultat est l'identité.

Rapport égal à moins un. Chaque point passe à la même distance de l'autre côté de D. Ce cas particulier est exactement la symétrie orthogonale d'axe D.

Distance et rapport signé. La distance ordinaire à D est multipliée par |k|, et non par k lorsque celui-ci est négatif. Le signe décrit le côté de l'axe ; la valeur absolue décrit le facteur de distance.

L'article affinité replace le cas orthogonal dans la famille des transformations qui fixent un axe et agissent suivant une direction donnée.

La fiche homothétie montre ce qui change lorsque la transformation conserve un centre plutôt qu'une droite entière.