droite de Steiner

Imaginez un triangle et un point M posé sur son cercle circonscrit. Faites glisser M comme dans un miroir autour de chacun des trois côtés. Vous obtenez trois points réfléchis, un par côté. Le fait remarquable est qu'ils tombent sur une même droite. Cette droite est la droite de Steiner de M. Elle passe aussi par l'orthocentre du triangle, c'est-à-dire le point où se rencontrent ses trois hauteurs. Le tracé transforme donc trois réflexions en une ligne unique, ce qui rend visible une liaison cachée entre le triangle et son cercle.

Dans un triangle non dégénéré ABC, les lettres A, B et C désignent les sommets. Pour un point M du plan, notons I′, J′ et K′ ses images par les symétries orthogonales d'axes respectifs (AB), (BC) et (AC). La droite de Steiner associée à M est la droite qui contient I′, J′ et K′ lorsque ces trois points sont alignés. Le critère exact est le suivant : M appartient au cercle circonscrit à ABC si et seulement si I′, J′ et K′ sont alignés.

Lorsque M est sur le cercle circonscrit, les projections orthogonales de M sur les trois côtés forment la droite de Simson. Une homothétie de centre M et de rapport 2 transforme cette droite en la droite de Steiner : c'est le lien conceptuel entre les deux constructions.

L'orthocentre H, point de concours des hauteurs de ABC, appartient à la droite de Steiner pour tout choix de M sur le cercle circonscrit. Si N est le milieu du segment [HM], alors N appartient à la fois au cercle d'Euler, aussi appelé cercle des neuf points, et à la droite de Simson associée à M.

La construction repose sur quatre éléments. Le triangle ABC fournit trois axes de réflexion orthogonale, ses côtés (AB), (BC) et (AC). Le point M fournit trois images réfléchies, I′, J′ et K′. Le cercle circonscrit détermine la condition qui rend ces images alignées. Enfin, leur droite commune constitue l'objet recherché.

Deux autres objets décrivent la même configuration. Les projections orthogonales de M sur les côtés forment la droite de Simson. L'homothétie de centre M et de rapport 2 envoie cette droite sur la droite de Steiner. Le point N, milieu de [HM], reste sur la première tandis que H se trouve sur la seconde ; N appartient également au cercle d'Euler.

Prenons le triangle rectangle ABC de sommets A(0 ; 0), B(4 ; 0) et C(0 ; 3). Son orthocentre est H = A, et le point M(4 ; 3) est le point diamétralement opposé à A sur le cercle circonscrit. La symétrie de M par rapport à (AB), qui est l'axe horizontal, donne I′(4 ; −3). La symétrie par rapport à (AC), axe vertical, donne K′(−4 ; 3).

Pour le côté (BC), une équation est 3x + 4y − 12 = 0. La réflexion d'un point (x ; y) par rapport à ax + by + c = 0 se calcule par (x − 2a(ax + by + c)/(a² + b²) ; y − 2b(ax + by + c)/(a² + b²)). Avec (x ; y) = (4 ; 3), (a ; b ; c) = (3 ; 4 ; −12), on obtient (4 − 72/25 ; 3 − 96/25) = (28/25 ; −21/25), donc J′(28/25 ; −21/25). Les trois points vérifient la même équation de droite :

Ils sont donc alignés sur la droite de Steiner, qui passe par H = (0 ; 0). Le milieu N de [HM] est N(2 ; 3/2) ; il se trouve sur la droite de Simson correspondante et sur le cercle d'Euler.

Pour reconnaître une droite de Steiner, commencez par vérifier que le triangle n'est pas dégénéré et que M est sur son cercle circonscrit. Construisez ensuite les trois symétriques de M par rapport aux côtés. Leur alignement fournit la droite ; dans la configuration, l'orthocentre du triangle doit aussi se trouver sur cette droite.

La relation avec la droite de Simson donne un second contrôle. Construisez les projections de M sur les côtés, puis comparez les deux droites : elles sont parallèles ou éventuellement confondues lorsque M est un sommet, et l'homothétie de centre M qui double les distances envoie la droite de Simson sur la droite de Steiner.

La droite de Steiner ne se confond généralement pas avec la droite de Simson ; elles peuvent toutefois être confondues lorsque M est un sommet. La droite de Simson porte les projections orthogonales de M sur les côtés du triangle ; la droite de Steiner porte les symétriques de M par rapport à ces côtés. Quand M est sur le cercle circonscrit, les deux droites sont parallèles ou confondues, et liées par une homothétie de centre M et de rapport 2.

Il ne faut pas non plus appeler droite de Steiner la droite passant par H et N. Dans la configuration générale, H appartient à la droite de Steiner, tandis que N, milieu de [HM], appartient à la droite de Simson et au cercle d'Euler. Ces deux points servent donc à relier les objets, mais ils ne définissent pas tous deux la même droite.

Le caractère aligné des trois symétriques dépend de l'hypothèse M ∈ cercle circonscrit. Pour un point M quelconque du plan, les trois images I′, J′ et K′ ne sont en général pas alignées : on ne peut donc pas parler de droite de Steiner au sens de cette propriété.

Le triangle doit être non dégénéré. Si ses trois sommets sont alignés, le cercle circonscrit et l'orthocentre n'ont plus le rôle géométrique utilisé ici. Les cas où M coïncide avec un sommet peuvent produire des symétriques confondus ; l'alignement reste alors vrai, mais il devient moins informatif visuellement.

Enfin, les mots « cercle des neuf points » désignent ici le cercle d'Euler du triangle. Le point N y appartient dans la configuration décrite, mais cette propriété ne transforme pas N en point de la droite de Steiner : N est sur la droite de Simson.

La droite de Steiner rassemble plusieurs constructions qui semblent indépendantes : trois réflexions, les projections de Simson et le cercle d'Euler. Le point M commande la correspondance entre les deux droites, tandis que l'orthocentre H fournit un point fixe de la droite de Steiner lorsque M parcourt le cercle circonscrit. Cette lecture permet d'étudier une famille de droites plutôt qu'un seul tracé.

Dans l'exemple rectangle, M(4 ; 3) et H(0 ; 0) sont diamétralement opposés sur le cercle circonscrit, si bien que N(2 ; 3/2) est le centre de ce cercle. Ce cas rend particulièrement visible le lien entre le milieu [HM], la droite de Simson et le cercle d'Euler, sans modifier le critère général d'alignement.