point de Longchamps

Tracez un triangle, puis repérez son orthocentre H et le centre O de son cercle circonscrit. Imaginez ensuite que H se reflète dans un miroir réduit au point O. Son image est le point de Longchamps, souvent noté L.

Les trois points H, O et L sont donc alignés. O se trouve exactement au milieu de H et L : les deux segments OH et OL ont la même longueur, mais partent en sens opposés. Cette construction reste valable que les points soient à l’intérieur ou à l’extérieur du triangle.

Soit un triangle non dégénéré ABC. On note H son orthocentre, c’est-à-dire le point d’intersection de ses hauteurs, et O le centre de son cercle circonscrit. Le point de Longchamps L est l’image de H par la symétrie centrale de centre O. Autrement dit, O est le milieu du segment [HL].

Cette définition s’écrit avec les vecteurs de position : $\vec{L}=2\vec{O}-\vec{H}\backslash vec\{L\}=2\backslash vec\{O\}-\backslash vec\{H\}$. Elle entraîne l’alignement de H, O et L ainsi que l’égalité OH = OL. Le cercle de centre O passant par H passe donc aussi par L, et H et L y sont antipodaux.

La caractérisation originelle considère aussi les trois cercles de centres A, B et C dont les rayons sont respectivement les longueurs BC, CA et AB. Elle cherche un cercle centré en L et orthogonal à chacun d’eux. Deux cercles sont orthogonaux lorsqu’ils se coupent et que leurs tangentes à chaque point d’intersection sont perpendiculaires. Si le cercle cherché a pour rayon ρ, la condition au sommet A est LA² = ρ² + BC², et les deux autres conditions s’obtiennent par permutation des sommets. Dans le cadre des seuls cercles réels, ces égalités exigent en outre ρ² ≥ 0.

Dans un repère orthonormé, prenons A(0 ; 0), B(6 ; 0) et C(1 ; 2). Les données sont donc les trois sommets du triangle ; on cherche successivement le centre du cercle circonscrit O, l’orthocentre H, puis le point de Longchamps L.

1. La médiatrice de [AB] est la droite d’abscisse 3. L’égalité des distances OA et OC donne alors O(3 ; −1/4).

2. Comme [AB] est horizontal, la hauteur issue de C est la droite d’abscisse 1. La droite (BC) a pour pente −2/5 ; la hauteur issue de A a donc pour pente 5/2. Leur intersection est H(1 ; 5/2).

3. La symétrie centrale se calcule coordonnée par coordonnée : Le point de Longchamps est donc L(5 ; −3).

4. Le contrôle consiste à reprendre le milieu de H et L : $(\frac{1+5}{2},\frac{5\mathrm{/}2-3}{2})=(3,-\frac{1}{4})=O\backslash left(\backslash frac\{1+5\}\{2\},\backslash frac\{5/2-3\}\{2\}\backslash right)=\backslash left(3,-\backslash frac14\backslash right)=O$. On vérifie aussi la caractérisation par les cercles : LA² − BC² = 34 − 29 = 5, LB² − CA² = 10 − 5 = 5 et LC² − AB² = 41 − 36 = 5. Le cercle de Longchamps a ici le rayon exact √5.

Pour construire L à la règle et au compas, on trace d’abord deux hauteurs afin d’obtenir H, puis deux médiatrices afin d’obtenir O. Si H ≠ O, on prolonge ensuite la droite (HO) au-delà de O et on reporte la longueur OH : le point obtenu est L. Si H = O, comme dans un triangle équilatéral, alors L coïncide aussi avec eux et aucun report n’est nécessaire.

Dans un repère, la formule L = 2O − H est plus directe qu’une construction graphique. Elle est à préférer lorsque les coordonnées de H et O sont déjà connues ou faciles à calculer.

Pour contrôler un résultat, on ne se fie pas à la position apparente du point dans le dessin. Il suffit de vérifier que H, O et L sont alignés et que O est le milieu de [HL].

Avec l’orthocentre. H est l’intersection des hauteurs, tandis que L est son symétrique par rapport à O. Dans un triangle non équilatéral, vérifier que O est le milieu de [HL] sépare les deux points.

Avec le centre du cercle circonscrit. O est équidistant des trois sommets ; L ne possède pas cette propriété en général. Dans l’exemple A(0 ; 0), B(6 ; 0), C(1 ; 2), O(3 ; −1/4) et L(5 ; −3) sont distincts.

Avec le cercle de Longchamps. L est un point, centre de la construction ; le cercle de Longchamps est le cercle centré en L et orthogonal aux trois cercles associés aux sommets. Parler de son rayon ou de ses intersections concerne le cercle, pas le seul point.

Triangle dégénéré. Si A, B et C sont alignés, le cercle circonscrit et son centre O ne sont pas définis dans le cadre euclidien usuel. La construction L = 2O − H ne s’applique donc pas ; il faut d’abord vérifier que les trois sommets ne sont pas alignés.

Triangle équilatéral. L’impression qu’il devrait y avoir trois points distincts est trompeuse : l’orthocentre et le centre du cercle circonscrit coïncident. La symétrie laisse alors ce point fixe, si bien que H = O = L.

Cercle orthogonal non réel. La définition par symétrie donne toujours L pour un triangle non dégénéré. En revanche, la valeur commune ρ² = LA² − BC² peut être négative. Dans un cadre limité aux cercles euclidiens réels, aucun rayon ρ n’existe alors ; il faut employer la définition par H et O, ou préciser qu’un cadre généralisé est utilisé.

L’Orthocentre permet de reprendre la construction des hauteurs qui fournit le premier point nécessaire à la symétrie.

Le centre du cercle circonscrit détaille le rôle de O et sa construction par les médiatrices du triangle.

La droite d'Euler replace l’alignement de H, O et L parmi les relations entre centres remarquables du triangle.