théorème de Feuerbach

Tracez un triangle non équilatéral, puis deux cercles particuliers : son cercle inscrit, calé contre les trois côtés, et son cercle des neuf points. Le théorème de Feuerbach affirme qu'ils se touchent en un point unique sans se couper. Ce contact est le point de Feuerbach.

Le même cercle des neuf points touche aussi chacun des trois cercles exinscrits, placés hors du triangle. Une seule configuration réunit ainsi quatre tangences remarquables.

Le théorème de Feuerbach est un résultat de géométrie euclidienne concernant les cercles associés à un triangle non dégénéré. Le cercle des neuf points, aussi nommé cercle d'Euler, passe notamment par les milieux des trois côtés et les pieds des trois hauteurs. Son centre est le milieu du segment joignant le centre du cercle circonscrit à l'orthocentre, et son rayon vaut la moitié du rayon du cercle circonscrit.

Le cercle inscrit est tangent aux trois côtés du triangle. Les trois cercles exinscrits sont chacun tangents à un côté et aux prolongements des deux autres. Si le triangle n'est pas équilatéral, le cercle des neuf points est tangent intérieurement au cercle inscrit : leurs circonférences ont un unique point commun. Il est tangent extérieurement à chacun des cercles exinscrits : les intérieurs des deux disques restent de part et d'autre du point de contact. Dans le cas équilatéral, le cercle des neuf points et le cercle inscrit sont confondus.

Le contact avec le cercle inscrit porte le nom de point de Feuerbach. Feuerbach a découvert le résultat en 1822 ; M'Clelland en 1891 et Lachlan en 1893 en ont ensuite donné des démonstrations indépendantes.

Si un triangle est non dégénéré et non équilatéral, alors son cercle des neuf points est tangent intérieurement à son cercle inscrit et tangent extérieurement à chacun de ses trois cercles exinscrits. Pour un triangle équilatéral, le cercle des neuf points et le cercle inscrit coïncident.

Notons N le centre du cercle des neuf points, R le rayon du cercle circonscrit, I et r le centre et le rayon du cercle inscrit. Pour un centre exinscrit I_a et son rayon r_a, les tangences se lisent par les distances entre centres :

Le théorème s'applique dans le plan euclidien à un triangle non dégénéré : ses trois sommets ne sont pas alignés. Pour obtenir quatre points de tangence ordinaires, le triangle doit aussi être non équilatéral. Il faut identifier le cercle des neuf points, le cercle inscrit et les trois cercles exinscrits du même triangle. La conclusion porte sur des contacts de ces cercles, et non sur une intersection quelconque.

Un triangle rectangle ou obtus reste admissible ; l'orthocentre peut être sur un sommet ou hors du triangle sans faire disparaître le cercle des neuf points. Dans le cas équilatéral, le cercle des neuf points et le cercle inscrit coïncident : le point de Feuerbach n'est plus unique. Si les trois sommets sont alignés, l'aire est nulle et les cercles usuels ne sont plus tous définis. Il faut alors traiter la configuration comme dégénérée, sans invoquer une tangence de Feuerbach.

Considérons un triangle rectangle dont les sommets sont A(0 ; 0), B(4 ; 0) et C(0 ; 3). Ses côtés mesurent 3, 4 et 5. Son aire vaut 6, son demi-périmètre vaut 6 et le rayon de son cercle circonscrit vaut 2,5.

1. L'orthocentre est A et le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse, soit O(2 ; 1,5). Le centre du cercle des neuf points est donc N(1 ; 0,75), milieu de AO, et son rayon vaut 1,25.

2. Le rayon inscrit est le quotient de l'aire par le demi-périmètre : r = 6 ÷ 6 = 1. Le centre du cercle inscrit est I(1 ; 1).

3. Les centres N et I sont sur la verticale x = 1, donc NI = 1 − 0,75 = 0,25. Or 1,25 − 1 = 0,25 : la distance entre centres égale la différence des rayons, critère de tangence intérieure.

4. Le point commun est F(1 ; 2), situé à une unité de I et à 1,25 unité de N. Ce double contrôle confirme la tangence illustrée, sans constituer à lui seul une preuve du théorème général.

Dans une construction géométrique, le théorème fournit un contrôle précis : après avoir construit le cercle inscrit et le cercle des neuf points, leurs tracés doivent avoir un unique point commun. S'ils se coupent en deux points, au moins une construction est erronée.

Pour calculer une tangence sans tracer tous les points du cercle, on compare la distance entre les centres à la différence des rayons pour le cercle inscrit. Pour un cercle exinscrit, on la compare à la somme des rayons.

Dans un exercice portant seulement sur les milieux des côtés ou les pieds des hauteurs, le cercle des neuf points suffit. Le théorème de Feuerbach devient utile dès que le cercle inscrit ou un cercle exinscrit intervient dans la même configuration.

Cercle des neuf points et cercle circonscrit. Le cercle circonscrit passe par les trois sommets et a pour rayon R. Le cercle des neuf points passe notamment par les milieux des côtés et a pour rayon R/2. Dans le triangle rectangle 3–4–5, leurs rayons valent respectivement 2,5 et 1,25.

Point de Feuerbach et centre du cercle des neuf points. Le point de Feuerbach est un point de tangence situé sur les deux cercles concernés. Le centre du cercle des neuf points est le milieu du centre du cercle circonscrit et de l'orthocentre. Dans l'exemple, ces points sont F(1 ; 2) et N(1 ; 0,75), donc ils ne coïncident pas.

Cercle inscrit et cercle exinscrit. Le premier est tangent aux trois côtés à l'intérieur du triangle. Un cercle exinscrit est extérieur et touche un côté ainsi que les prolongements des deux autres. Cette position distingue les deux objets avant même d'étudier leur tangence avec le cercle des neuf points.

Triangle dégénéré. Lorsque les trois sommets sont alignés, l'aire vaut 0 et les cercles usuels de la configuration ne sont plus tous définis. Il ne faut pas prolonger le théorème par simple continuité visuelle.

Tangence intérieure mal lue. Le cercle des neuf points et le cercle inscrit ne sont pas nécessairement l'un dans l'autre sur toute leur surface. « Intérieurement » qualifie le mode de contact des circonférences : la distance des centres est la différence des rayons.

Triangle équilatéral. La distance entre le centre du cercle des neuf points et l'incentre vaut 0, tandis que les deux rayons sont égaux. Les deux cercles coïncident au lieu d'avoir un unique point de tangence ; le point de Feuerbach n'est donc pas déterminé de manière unique.

Vérification particulière. Constater la tangence dans le triangle 3–4–5 confirme les calculs de cet exemple, mais ne démontre pas le résultat pour tous les triangles non dégénérés. Une preuve générale doit établir les relations de distances sans fixer les longueurs des côtés.

Le cercle des neuf points permet d'étudier sa construction, son centre et les neuf points remarquables qui lui donnent son nom.

Le cercle inscrit précise le rôle des bissectrices, de l'incentre et du rayon inscrit dans un triangle.

Le cercle exinscrit éclaire les trois contacts extérieurs qui complètent l'énoncé du théorème de Feuerbach.

L'Orthocentre aide à construire le centre du cercle des neuf points à partir du centre du cercle circonscrit.