GéométrieNotion · Glossaire
problème de Malfatti
Dans un triangle non dégénéré, le problème de Malfatti demande de construire à la règle et au compas trois cercles intérieurs, chacun tangent aux deux côtés issus d’un sommet et extérieurement tangent aux deux autres cercles. Ces neuf tangences couplent position et rayon des trois cercles : elles caractérisent la configuration et la distinguent d’un simple placement de cercles ou d’une maximisation de leur aire totale.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les six tangences aux côtés et les trois tangences entre cercles de la solution intérieure.
- Vérifier la configuration dans un triangle équilatéral de côté 12 cm.
- Distinguer le problème de construction du problème d'optimisation des aires.
- Situer la solution principale parmi les 19 autres configurations.
En clair
Imaginez un triangle et placez un cercle dans chacun de ses trois coins. Chaque cercle doit toucher les deux côtés qui forment son coin, mais aussi chacun des deux autres cercles. Les trois disques restent ainsi à l'intérieur du triangle et se touchent deux à deux, sans se chevaucher.
Le problème de Malfatti demande de construire exactement cette configuration à la règle et au compas. Le défi vient de contraintes liées : déplacer ou agrandir un cercle modifie à la fois ses contacts avec les côtés et avec les autres cercles.
Définition
Dans un triangle non aplati ABC, la solution principale du problème de Malfatti est un triplet de cercles intérieurs. Le premier cercle est tangent aux deux côtés issus du sommet A, le deuxième aux deux côtés issus de B et le troisième aux deux côtés issus de C. En outre, chaque cercle est tangent extérieurement aux deux autres. Les centres se trouvent donc sur les bissectrices intérieures des trois angles.
La tangence aux côtés fixe la distance de chaque centre aux deux droites correspondantes. La tangence extérieure de deux cercles impose que la distance entre leurs centres soit égale à la somme de leurs rayons. Ces neuf contacts couplent la position et la taille des trois cercles ; il ne s'agit pas de choisir séparément trois cercles inscrits dans des secteurs angulaires.
Gian Francesco Malfatti posa le problème en 1803 et en donna une démonstration analytique d'existence et de construction. Jakob Steiner proposa en 1826 une construction géométrique, sans démonstration. Outre la solution principale intérieure, le problème possède 19 autres configurations qui font intervenir des cercles intérieurs et extérieurs au triangle.
Un exemple, pas à pas
Prenons un triangle équilatéral ABC de côté 12 cm. Par symétrie, ses trois cercles de Malfatti intérieurs ont le même rayon, noté r. Chaque angle mesure 60°, et le centre d'un cercle est situé sur une bissectrice.
1. Dans un angle de 60°, la distance du sommet au centre vaut 2r, car la distance perpendiculaire du centre à chaque côté vaut r.
2. La symétrie et la tangence entre deux cercles donnent le rayon exact :
Il vaut environ 2,20 cm.
3. Sur chaque bissectrice, plaçons le centre à la distance 2r du sommet, puis traçons le cercle de rayon r. La figure obtenue rend visibles les trois contacts entre cercles et les six contacts avec les côtés.
4. Le contrôle se refait sans mesurer l'image : chaque centre est à r des deux côtés de son angle, et deux centres voisins sont distants de 2r. Les cercles sont donc tangents aux côtés et extérieurement tangents deux à deux.
En pratique
Dans une figure, on reconnaît la solution intérieure en vérifiant deux familles de contacts. Chaque cercle touche les deux côtés d'un angle, puis les trois cercles se touchent deux à deux. Un simple dessin de trois disques logés dans un triangle ne suffit pas.
Pour contrôler une construction, on relie les centres. Un rayon mené vers un côté au point de contact doit lui être perpendiculaire. Entre deux cercles extérieurement tangents, les deux centres et le point de contact sont alignés, et la distance des centres égale la somme des rayons.
Si la question porte sur l'occupation maximale de l'intérieur du triangle, il faut abandonner le critère de Malfatti et résoudre le problème d'optimisation correspondant. Le signe observable est l'objectif : maximiser une aire n'impose pas les mêmes contacts.
À ne pas confondre
Le problème de Malfatti ne demande pas de maximiser la somme des aires de trois cercles disjoints placés dans un triangle. Il impose une configuration de tangences et une construction à la règle et au compas. Dans un triangle général, les cercles qui maximisent l'aire ne sont pas les cercles de Malfatti.
Il ne faut pas non plus confondre chaque cercle de Malfatti avec le cercle inscrit du triangle. Le cercle inscrit touche les trois côtés du triangle ; chacun des trois cercles de Malfatti intérieurs touche seulement les deux côtés de son angle et les deux autres cercles.
Limites et pièges
La représentation familière avec trois cercles entièrement contenus dans le triangle ne montre que la solution principale. Le décompte complet comprend 19 autres configurations, où interviennent des cercles intérieurs et des cercles extérieurs. Il faut donc annoncer la configuration étudiée avant d'affirmer que « les » cercles de Malfatti sont uniquement intérieurs.
La donnée doit être un véritable triangle. Si A, B et C sont alignés, les angles du triangle et leurs bissectrices intérieures ne définissent plus le cadre du problème. Il faut alors traiter une autre situation géométrique, et non prolonger la construction par un dessin dégénéré.
Une proximité visuelle n'établit pas une tangence. Sur une figure approchée, on contrôle la perpendicularité du rayon au côté et, pour deux cercles extérieurs l'un à l'autre, l'égalité entre la distance des centres et la somme des rayons.
Pour aller plus loin
L'article Les cercles de Malfatti prolonge l'étude de la configuration et de sa construction géométrique.
La fiche cercle inscrit précise la tangence d'un cercle aux côtés d'un triangle et le rôle des bissectrices.
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