GéométrieNotion · Glossaire
bissectrice intérieure
Dans un triangle, les bissectrices intérieures sont les demi-droites issues de chaque sommet qui divisent l'angle intérieur correspondant en deux angles égaux. Les trois bissectrices intérieures d'un triangle sont concourantes en un point appelé incentre (ou centre du cercle inscrit). Ce point est équidistant des trois côtés du triangle et constitue le centre du cercle inscrit, c'est-à-dire le plus grand cercle contenu dans le triangle et tangent intérieurement à ses trois côtés.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier une bissectrice intérieure dans un triangle.
- Relier le concours des trois bissectrices à l'incentre.
- Vérifier sur un triangle 3–4–5 que le rayon du cercle inscrit vaut 1 cm.
- Distinguer bissectrice intérieure, bissectrice extérieure et médiatrice.
En clair
Imaginez que l'on partage chacun des trois coins d'un triangle en deux angles égaux. Depuis chaque sommet, le trait de partage avance vers l'intérieur du triangle. Les trois traits finissent par se rencontrer au même point.
Ce point est à la même distance des trois côtés. Il peut donc servir de centre à un cercle qui touche chaque côté sans sortir du triangle : le cercle inscrit.
Définition
Dans un triangle non dégénéré nommé ABC, la bissectrice intérieure issue du sommet A est la demi-droite située dans l'angle formé par les côtés AB et AC. Si un point D de cette demi-droite appartient au côté BC, les deux angles obtenus ont la même mesure : . Les sommets B et C possèdent de même leur bissectrice intérieure.
Ces trois demi-droites passent par un unique point intérieur au triangle, noté I et appelé incentre. La distance d'un point à un côté désigne la longueur du segment perpendiculaire à ce côté. Pour l'incentre, ces trois distances sont égales : .
La valeur commune est le rayon du cercle inscrit. Ce cercle, centré en I, est tangent intérieurement aux trois côtés et constitue le plus grand cercle entièrement contenu dans le triangle. La construction reste la même quelle que soit la forme du triangle, à condition que ses trois sommets ne soient pas alignés.
Un exemple, pas à pas
Données. Le triangle ABC est rectangle en A. Les côtés AB, AC et BC mesurent respectivement 4 cm, 3 cm et 5 cm. On place A à l'origine, AB sur l'axe horizontal et AC sur l'axe vertical.
1. Calculez le demi-périmètre, noté s : .
2. Calculez l'aire du triangle, notée S : .
3. Le rayon r du cercle inscrit vaut l'aire divisée par le demi-périmètre : .
4. La bissectrice de l'angle droit en A partage 90° en deux angles de 45°. Dans le repère choisi, elle suit donc la droite d'équation y = x. L'incentre I se trouve à 1 cm de chacun des axes, donc au point de coordonnées (1 ; 1).
5. Contrôlez le troisième côté. La droite BC a pour équation 3x + 4y = 12 ; la distance de I à BC vaut . Le point I est bien équidistant des trois côtés.
Le schéma du triangle 3–4–5 rend visibles la rencontre des trois bissectrices en I et les trois tangences du cercle de rayon 1 cm.
En pratique
Construire le centre. À la règle et au compas, on partage deux angles du triangle en deux angles égaux. Leur intersection donne l'incentre ; la troisième bissectrice sert de contrôle.
Tracer un cercle tangent aux trois côtés. On choisit l'incentre lorsque le cercle doit rester à l'intérieur et toucher chaque côté. Le rayon est la distance perpendiculaire de l'incentre à l'un des côtés.
Choisir la bonne construction. Si le point recherché doit être équidistant des côtés, on utilise les bissectrices. S'il doit être équidistant des sommets, on utilise plutôt les médiatrices.
À ne pas confondre
Bissectrice intérieure et bissectrice extérieure. La première partage l'angle situé dans le triangle et traverse son intérieur. La seconde partage l'angle extérieur formé par un côté et le prolongement d'un autre. Dans un dessin, le trait qui passe par l'intérieur du triangle tranche la distinction.
Bissectrice et médiatrice. Une bissectrice part d'un sommet et partage un angle. Une médiatrice coupe un segment perpendiculairement en son milieu. Pour trouver un point équidistant des côtés, on croise les bissectrices ; pour un point équidistant des sommets, on croise les médiatrices.
Limites et pièges
Triangle dégénéré. Si les trois sommets sont alignés, il n'existe plus d'intérieur triangulaire ni de cercle tangent intérieurement aux trois côtés. Il faut d'abord vérifier que l'aire du triangle est strictement positive.
Construction imprécise. Sur un tracé manuel, trois traits peuvent sembler former un petit triangle au lieu de se couper en un point. Il faut construire deux bissectrices avec soin, puis utiliser la troisième pour contrôler leur intersection commune.
Distance au côté. La distance entre l'incentre et un côté ne se mesure pas suivant une direction quelconque. Le segment de mesure doit être perpendiculaire au côté ; sinon sa longueur ne donne pas le rayon du cercle inscrit.
Pour aller plus loin
cercle inscrit — Relier l'incentre au cercle tangent aux trois côtés et préciser le rôle de son rayon.
Médiatrice — Comparer deux constructions remarquables et reconnaître si l'équidistance concerne les côtés ou les sommets.
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