GéométrieNotion · Glossaire
Médiatrice
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. Elle est le lieu géométrique des points équidistants des deux extrémités du segment. Les médiatrices des trois côtés d'un triangle non aplati sont concourantes en un point appelé le circumcentre, qui est le centre du cercle circonscrit au triangle. En géométrie du plan, la médiatrice est un outil fondamental pour les constructions géométriques et pour l'étude des isométries (en particulier la réflexion par rapport à une droite).
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier la médiatrice par le milieu, la perpendicularité ou l’équidistance.
- Construire une médiatrice au compas ou à l’équerre.
- Vérifier l’appartenance d’un point avec des coordonnées.
- Distinguer médiatrice, bissectrice, médiane et hauteur.
- Relier les médiatrices d’un triangle au cercle circonscrit.
En clair
Imaginez deux points A et B plantés comme deux piquets. Pliez mentalement le segment qui les relie en deux : la médiatrice passe par le pli et le coupe à angle droit.
Tout point posé sur cette droite est à la même distance de A et de B. Inversement, un point aussi éloigné des deux piquets se trouve nécessairement sur la médiatrice. Elle partage ainsi le plan entre les points plus proches de A et ceux plus proches de B.
Définition
Dans le plan euclidien, soient A et B deux points distincts. La médiatrice du segment [AB] est l’unique droite qui passe par le milieu M de [AB] et qui est perpendiculaire à la droite (AB). Elle dépend du segment, donc de ses deux extrémités, et non d’une droite isolée.
Cette définition géométrique équivaut à une propriété de distance. Pour tout point P du plan, P appartient à la médiatrice de [AB] si et seulement si ses distances aux extrémités sont égales : . Cette double implication autorise deux usages : construire la droite avec le milieu et une perpendiculaire, ou reconnaître qu’un point lui appartient en comparant deux distances.
Dans un triangle non aplati, les médiatrices des trois côtés se rencontrent en un point unique, appelé circumcentre. Ce point est équidistant des trois sommets et constitue donc le centre du cercle qui passe par eux, appelé cercle circonscrit. La réflexion par rapport à la médiatrice échange A et B : la droite joue alors le rôle d’axe de symétrie du segment.
Un exemple, pas à pas
Dans un repère orthonormé, prenons le point A de coordonnées (1 ; 1) et le point B de coordonnées (7 ; 5). Nous cherchons la médiatrice de [AB], puis nous vérifions que le point P de coordonnées (2 ; 6) lui appartient.
1. Le milieu M a pour coordonnées .
2. Un point courant de coordonnées (x ; y) est sur la médiatrice lorsque ses carrés de distance à A et B sont égaux.
3. En développant cette égalité, on obtient l’équation de la médiatrice :
2. Un point courant de coordonnées (x ; y) est sur la médiatrice lorsque ses carrés de distance à A et B sont égaux.
3. En développant cette égalité, on obtient l’équation de la médiatrice :
4. Le point M vérifie bien 3 × 4 + 2 × 3 = 18. Pour P, on trouve aussi 3 × 2 + 2 × 6 = 18.
5. Un second contrôle compare les distances : PA² = (2 − 1)² + (6 − 1)² = 26 et PB² = (2 − 7)² + (6 − 5)² = 26. Ainsi, PA = PB = √26 et P appartient bien à la médiatrice. La figure rassemble le milieu, l’angle droit et cette égalité de distances.
5. Un second contrôle compare les distances : PA² = (2 − 1)² + (6 − 1)² = 26 et PB² = (2 − 7)² + (6 − 5)² = 26. Ainsi, PA = PB = √26 et P appartient bien à la médiatrice. La figure rassemble le milieu, l’angle droit et cette égalité de distances.
En pratique
Pour construire la médiatrice sans mesurer, on trace deux arcs de même rayon, l’un centré en A et l’autre en B. Si ce rayon dépasse la moitié de AB, les arcs se coupent en deux points ; la droite qui joint ces intersections est la médiatrice. Une équerre et une règle graduée constituent l’alternative lorsque le milieu peut être mesuré avec une précision suffisante.
Pour trouver le centre du cercle circonscrit à un triangle, on construit les médiatrices de deux côtés. Leur intersection donne le circumcentre ; la troisième médiatrice sert de contrôle. Cette méthode convient à un triangle non aplati, tandis que trois points alignés n’admettent pas de cercle circonscrit ordinaire.
Pour départager deux sites A et B selon la distance, la médiatrice forme la frontière des positions à égalité. De chaque côté, le site le plus proche change. Si les trajets suivent un réseau plutôt que la distance droite du plan, cette frontière euclidienne n’est plus le bon modèle.
À ne pas confondre
Bissectrice d’un angle. Elle partage un angle en deux angles égaux, tandis que la médiatrice coupe un segment en son milieu et à angle droit. Dans un triangle quelconque, la bissectrice issue d’un sommet passe par ce sommet ; la médiatrice du côté opposé n’y passe généralement pas.
Médiane d’un triangle. Elle relie un sommet au milieu du côté opposé. La médiatrice de ce côté passe aussi par son milieu, mais elle lui est perpendiculaire. Les deux droites coïncident seulement lorsque le triangle est isocèle au sommet considéré.
Hauteur d’un triangle. Elle passe par un sommet et est perpendiculaire au côté opposé, ou à sa droite support. Une médiatrice est perpendiculaire au même support mais passe par le milieu du côté ; dans un triangle non isocèle, ces deux points de passage diffèrent.
Limites et pièges
Segment réduit à un point. Si A et B coïncident, tout point du plan est équidistant de A et B. Il n’existe alors aucune droite unique jouant le rôle de médiatrice ; il faut réserver la définition usuelle aux extrémités distinctes.
Construction au compas qui ne se ferme pas. Avec un rayon égal à la moitié de AB, les deux cercles sont tangents au seul milieu ; avec un rayon plus petit, ils ne se rencontrent pas. Il faut choisir un rayon strictement supérieur à la moitié de AB pour obtenir deux intersections.
Triangle aplati. Si les trois sommets sont distincts mais alignés, les médiatrices de deux côtés sont parallèles et ne possèdent pas d’intersection finie. Il n’y a donc ni circumcentre fini ni cercle ordinaire passant par les trois sommets.
Égalité lue sur un dessin. Un tracé épais ou une mesure arrondie peut faire paraître deux distances égales. Pour conclure, il faut utiliser une construction exacte ou vérifier l’égalité par le calcul, en tenant compte de la précision des mesures si les données sont expérimentales.
Pour aller plus loin
Le plan médiateur transpose l’équidistance à l’espace : les points aussi éloignés de deux extrémités forment alors un plan.
Le centre du cercle circonscrit approfondit le point commun aux médiatrices d’un triangle et sa position selon la forme du triangle.
L’article Médiatrices, bissectrices… et au-delà ! met en perspective plusieurs droites remarquables et les constructions géométriques qu’elles organisent.
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