GéométrieNotion · Glossaire
Équidistant
Deux points ou deux ensembles sont dits équidistants d'un troisième point ou d'un troisième ensemble lorsqu'ils se trouvent à la même distance de ce dernier. En géométrie, la médiatrice d'un segment est le lieu des points équidistants des deux extrémités. Plus généralement, l'ensemble des points équidistants de deux points distincts forme un hyperplan dans un espace euclidien.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier l'équidistance à l'égalité de deux distances mesurées depuis les mêmes objets de référence.
- Vérifier avec des coordonnées que M(3, 4) est à 5 mètres de A(0, 0) et B(6, 0).
- Reconnaître la médiatrice dans le plan et l'hyperplan dans un espace euclidien de dimension supérieure.
- Distinguer équidistance, espacement régulier, milieu et bissectrice.
- Repérer les précautions liées aux points confondus, aux métriques et aux distances entre ensembles.
En clair
Imaginez deux balises A et B posées à 6 mètres l'une de l'autre. Un point M est équidistant de ces balises si le trajet droit de M à A a exactement la même longueur que celui de M à B. M n'a pas besoin d'être entre les balises.
Au milieu du segment, cette égalité se voit immédiatement. Mais il existe beaucoup d'autres positions possibles : dans le plan, elles dessinent toute la droite perpendiculaire au segment passant par son milieu, appelée médiatrice.
Définition
Dans un espace muni d'une distance, un point M est équidistant de deux points distincts A et B lorsque les distances MA et MB sont égales. Le critère s'écrit . L'équidistance est donc toujours relative aux objets comparés et à la distance choisie.
Dans le plan euclidien, l'ensemble des points M qui vérifient ce critère est la médiatrice du segment [AB] : la droite perpendiculaire à (AB) passant par le milieu de [AB]. Dans l'espace euclidien de dimension trois, ce lieu devient le plan perpendiculaire à la droite (AB) en son milieu. Plus généralement, en dimension n, il s'agit d'un hyperplan de dimension n − 1.
Pour des ensembles, le mot « distance » doit être défini avant de parler d'équidistance : on peut, selon le problème, prendre par exemple la plus petite distance entre leurs points ou la distance d'un point à un ensemble. Ces choix ne donnent pas nécessairement le même résultat.
Un exemple, pas à pas
Dans un repère orthonormé gradué en mètres, les balises sont A(0, 0) et B(6, 0), et le point à tester est M(3, 4). Les données sont donc un écart horizontal de 3 mètres et un écart vertical de 4 mètres entre M et chacune des balises.
1. Pour A, le carré de la distance vaut 32 + 42 = 9 + 16 = 25.
2. La distance de M à A est donc MA = √25 = 5 mètres.
2. La distance de M à A est donc MA = √25 = 5 mètres.
3. Pour B, les écarts sont −3 mètres horizontalement et 4 mètres verticalement : MB2 = (−3)2 + 42 = 25.
4. On obtient MB = 5 mètres, donc MA = MB.
4. On obtient MB = 5 mètres, donc MA = MB.
Le schéma rend visibles les deux triangles rectangles de côtés 3, 4 et 5 ainsi que la médiatrice x = 3 sur laquelle se trouve M.
Le contrôle peut se refaire sans racine carrée : les deux carrés de distance valent 25. Le point M est donc bien équidistant de A et B, à 5 mètres de chacune.
En pratique
Pour placer un point à égale distance de deux balises, on construit leur médiatrice. Un simple milieu ne suffit que si le point recherché doit rester sur le segment ; la médiatrice convient lorsque toutes les positions du plan sont admises.
Pour trouver le centre du cercle passant par trois points non alignés, on trace les médiatrices de deux côtés du triangle. Leur intersection est équidistante des trois sommets. Si les trois points sont alignés, cette construction ne fournit pas de cercle de rayon fini.
Dans un repère, on peut comparer les carrés des distances plutôt que calculer deux racines carrées. Cette alternative conserve l'égalité des distances euclidiennes positives et allège les calculs.
À ne pas confondre
Équidistant et régulièrement espacés. Être équidistant signifie avoir la même distance à un même objet de référence. Des points régulièrement espacés ont plutôt des distances égales entre voisins. Trois points alignés aux abscisses 0, 2 et 4 sont régulièrement espacés, mais les deux premiers ne sont pas équidistants du troisième.
Médiatrice et bissectrice. La médiatrice compare les distances à deux points ; la bissectrice compare les distances aux deux côtés d'un angle. Dans un triangle quelconque, une même droite issue d'un sommet n'a aucune raison de jouer les deux rôles.
Milieu et point équidistant. Le milieu de [AB] est l'unique point du segment situé à égale distance de A et B. Hors du segment, tous les autres points de la médiatrice sont eux aussi équidistants des extrémités.
Limites et pièges
Les deux points de référence coïncident. Si A = B, tout point M vérifie MA = MB. Le lieu n'est alors plus un hyperplan : c'est tout l'espace. Il faut donc conserver l'hypothèse A et B distincts.
La distance change. La médiatrice est le lieu attendu pour la distance euclidienne. Avec une autre métrique, le lieu des points équidistants peut avoir une autre forme. Il faut identifier la distance utilisée avant de conclure à une droite ou à un hyperplan.
Les objets sont des ensembles. L'expression « distance entre ensembles » n'a pas une convention unique dans tous les contextes. Le symptôme est une égalité impossible à vérifier sans définition préalable. Il faut préciser la distance retenue, puis appliquer le même choix aux trois objets.
Les longueurs sont mesurées. Deux relevés affichés identiques ne prouvent pas une égalité mathématique exacte. Avec un instrument gradué au centimètre, on conclut seulement que les distances sont compatibles avec la précision annoncée.
Pour aller plus loin
La fiche Médiatrice détaille la construction du lieu des points équidistants de deux extrémités.
La fiche Hyperplan prolonge la médiatrice du plan vers les espaces euclidiens de dimension supérieure.
La fiche centre du cercle circonscrit montre comment l'intersection de médiatrices produit un point équidistant de trois sommets.
L'article Médiatrices, bissectrices… et au-delà ! replace ces lieux géométriques dans un ensemble de constructions apparentées.
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