plan bissecteur

Imaginez deux murs qui se rencontrent suivant une arête verticale. Entre eux, une plaque peut être placée de façon à faire le même angle avec chaque mur. Tous les points de cette plaque sont alors aussi éloignés d’un mur que de l’autre.

Pour deux plans entiers qui se coupent, il existe deux telles positions : elles partagent les quatre angles autour de l’arête et sont perpendiculaires entre elles. Dans un dièdre précis, on ne conserve que le demi-plan qui coupe en deux la région choisie.

Soient deux plans sécants P₁ et P₂ d’un espace euclidien de dimension 3. Un point M appartient à leur ensemble bissecteur lorsque sa distance orthogonale à P₁ est égale à sa distance orthogonale à P₂. Le critère s’écrit $d(M,P_1)=d(M,P_2)d(M,P\_1)=d(M,P\_2)$.

Cet ensemble est la réunion de deux plans. Chacun contient la droite d’intersection de P₁ et P₂, et les deux plans bissecteurs sont perpendiculaires entre eux. Dans toute coupe par un plan perpendiculaire à la droite d’intersection, ils apparaissent comme les deux bissectrices des angles formés par les traces de P₁ et P₂.

Un dièdre ne retient que deux demi-plans de bord commun, appelés ses faces. Son plan bissecteur est donc le demi-plan, de même bord, situé dans la région angulaire considérée. Il partage l’angle dièdre en deux angles égaux. Cette restriction distingue le bissecteur d’un dièdre des deux plans obtenus quand les plans supports sont pris en entier.

La configuration comporte deux plans sécants P₁ et P₂, leur droite d’intersection qui joue le rôle d’arête, et la distance orthogonale d’un point à chacun des plans. L’égalité de ces deux distances sélectionne deux plans bissecteurs B₊ et B₋. Tous deux passent par l’arête, car les points de celle-ci sont à distance nulle des deux plans initiaux.

Une coupe perpendiculaire à l’arête ramène la configuration à quatre droites : les traces des deux plans initiaux et les deux bissectrices. Cette coupe suffit à construire les plans bissecteurs en prolongeant les bissectrices le long de l’arête. L’orientation du dessin, son échelle et le choix des couleurs ne définissent pas l’objet ; seules l’incidence et l’équidistance comptent.

Dans un repère orthonormé, prenons le plan P₁ d’équation x = 0 et le plan P₂ d’équation y = 0. Ils se coupent suivant l’axe des z. Pour un point M de coordonnées (x, y, z), les données sont les distances |x| à P₁ et |y| à P₂.

1. On traduit l’équidistance par $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }|x|=|y|$.
2. En élevant les deux membres au carré, on obtient x² = y².
3. La différence se factorise : (x − y)(x + y) = 0.
4. Les deux solutions sont donc y = x et y = −x, sans condition sur z.

Les deux plans bissecteurs sont B₊ d’équation y = x et B₋ d’équation y = −x. Contrôle : le point (2, 2, 3) est à 2 unités de chacun des plans initiaux, tandis que (2, 1, 3) est à 2 unités de P₁ et à 1 unité de P₂.

Dans une construction géométrique, on coupe la figure par un plan perpendiculaire à l’arête. On construit alors une bissectrice plane, puis on la prolonge parallèlement à l’arête. Cette méthode est préférable au calcul lorsque les traces des plans et l’angle sont directement accessibles.

Avec des équations cartésiennes, on exprime les deux distances d’un point aux plans et on les égalise. Cette méthode est préférable lorsque les coefficients des plans sont connus ; elle révèle les deux solutions, à condition de conserver les valeurs absolues.

Pour choisir le bissecteur intérieur d’un dièdre, on teste un point situé dans la région considérée. Le bon demi-plan traverse cette région et partage son angle en deux. L’autre plan bissecteur correspond aux angles adjacents, pas à l’intérieur du dièdre choisi.

Bissectrice d’un angle plan. C’est une droite ou une demi-droite dans une figure plane, tandis qu’un plan bissecteur est une surface de l’espace. Une coupe perpendiculaire à l’arête transforme toutefois le second problème en un problème de bissectrices planes.

Plan médiateur de deux points. Il rassemble les points équidistants de deux points donnés, et non de deux plans. Avec deux points distincts A et B, il est perpendiculaire au segment AB en son milieu ; ce test ne caractérise pas un plan bissecteur.

Plans parallèles distincts. Ils ne forment ni arête ni angle dièdre. Les points équidistants constituent alors un seul plan parallèle, situé à mi-distance ; il ne faut pas chercher deux plans bissecteurs.

Plans confondus. Chaque point de l’espace a la même distance aux deux plans. Le lieu d’équidistance est tout l’espace, et aucun bissecteur privilégié n’est déterminé.

Une seule branche conservée. Dans l’exemple x = 0 et y = 0, remplacer |x| = |y| par x = y supprime à tort le plan y = −x. Il faut résoudre l’égalité des distances avant de sélectionner, si nécessaire, le demi-plan intérieur d’un dièdre donné.

Angle nul ou plat. À 0° ou 180°, les plans supports sont confondus plutôt que sécants suivant une droite unique. La définition usuelle à deux plans bissecteurs ne s’applique donc plus ; il faut traiter le lieu d’équidistance comme un cas dégénéré.

Le dièdre précise le rôle des deux faces et de leur arête commune. L’angle dièdre explique la mesure de l’ouverture dans une coupe perpendiculaire à cette arête.

La bissectrice intérieure prolonge l’idée dans le plan : elle partage l’angle choisi en deux angles égaux et sert dans la coupe de construction.