dièdre

Imaginez deux plaques rigides articulées le long d’un bord droit, comme les deux couvertures d’un livre entrouvert. Le bord commun joue le rôle d’une charnière. Les deux plaques peuvent se rapprocher ou s’écarter sans cesser de partager ce bord.

En géométrie, chaque plaque est remplacée par un demi-plan et la charnière par une droite. L’ensemble forme un dièdre. Pour voir son ouverture sans effet de perspective, on le coupe perpendiculairement à l’arête : les deux faces donnent alors deux demi-droites, et leur angle est celui du dièdre.

Un dièdre est formé de deux demi-plans qui ont pour frontière la même droite. Cette droite commune est l’arête du dièdre ; les deux demi-plans en sont les faces. La donnée des faces compte : deux plans entiers qui se coupent déterminent plusieurs choix de demi-plans, donc plusieurs ouvertures possibles.

Pour mesurer l’ouverture, on choisit un point sur l’arête et un plan perpendiculaire à cette arête. Chaque face coupe ce plan suivant une demi-droite issue du point choisi. L’angle formé par ces deux demi-droites est l’angle dièdre. Pour des demi-plans fixes, sa mesure ne dépend pas du point choisi sur l’arête. Dans la convention non orientée usuelle, elle est comprise entre 0° et 180°.

Si les deux faces sont perpendiculaires, l’angle dièdre mesure 90° : le dièdre est droit. Dans un polyèdre, chaque arête appartient à deux faces ; celles-ci forment un dièdre dont on peut étudier l’ouverture.

Deux faces partagent une arête droite. Un plan perpendiculaire à cette arête la rencontre en un point O et coupe les faces suivant les demi-droites OA et OB. La coupe fournit les données suivantes :
OA = 4 cm ;
OB = 4 cm ;
AB = 4 cm.

1. L’angle dièdre recherché est l’angle AOB, car OA et OB appartiennent aux faces et sont perpendiculaires à l’arête.

2. On note θ la mesure de l’angle AOB. La loi des cosinus appliquée au triangle AOB donne :

3. Dans l’intervalle de 0° à 180°, le seul angle dont le cosinus vaut 1/2 est 60°. Le dièdre mesure donc exactement 60°.

4. Le contrôle est immédiat : les trois côtés de la coupe mesurent 4 cm. Le triangle AOB est équilatéral, donc chacun de ses angles mesure 60°, en accord avec le calcul.

Avec deux feuilles rigides reliées par un bord, on fait varier concrètement l’ouverture d’un dièdre. Si l’arête est vue en biais, l’angle apparent sur une photographie est trompeur ; une coupe ou un gabarit placé perpendiculairement à l’arête donne la bonne mesure.

Sur un polyèdre, on choisit une arête et les deux faces qui la partagent. Une coupe perpendiculaire à cette arête transforme le problème spatial en un angle plan. Quand seule une vue en perspective est disponible, il faut reconstruire cette coupe plutôt que mesurer directement le dessin.

Dièdre et angle dièdre. Le dièdre est la figure constituée des deux faces et de leur arête commune. L’angle dièdre est un nombre qui mesure son ouverture. Deux modèles de tailles différentes peuvent donc représenter des dièdres ayant le même angle.

Angle dièdre et angle plan. Un angle plan est formé directement par deux demi-droites de même origine. Un angle dièdre a une arête droite et deux faces ; il ne devient un angle plan qu’après une coupe perpendiculaire à l’arête.

Dièdre et angle entre deux plans. Deux plans entiers qui se coupent ne sélectionnent pas à eux seuls deux demi-plans précis. Si la coupe montre 60° et 120°, le choix des faces détermine lequel de ces deux angles décrit le dièdre considéré.

Faces confondues. Si les deux demi-plans coïncident, la coupe donne deux demi-droites confondues et l’ouverture vaut 0°. Il faut conserver ce cas limite, même si la figure ne paraît plus « ouverte ».

Faces opposées dans un même plan. Si les demi-plans sont de part et d’autre de leur frontière commune, la coupe donne deux demi-droites opposées et l’angle vaut 180°. Les faces sont coplanaires, mais elles ne coïncident pas.

Perspective trompeuse. Sur un dessin spatial, l’angle visible entre deux segments tracés dans les faces dépend du point de vue. Pour obtenir l’angle dièdre, ces segments doivent provenir d’une même coupe perpendiculaire à l’arête.

Ouverture intérieure ou extérieure. Dans une coupe perpendiculaire à leur arête, deux plans sécants déterminent quatre secteurs alternés, de mesures θ et 180° − θ. Il faut préciser les deux demi-plans retenus : ce choix sélectionne sans ambiguïté le secteur dont l’angle mesure le dièdre.

angle dièdre — Approfondir la mesure de l’ouverture et son extraction par une coupe perpendiculaire à l’arête.

Demi-plan — Revoir la nature exacte des deux faces qui constituent un dièdre.

polyèdre — Situer les dièdres le long des arêtes d’un solide à faces planes.