GéométrieObjet géométrique · Glossaire
Angle au centre
L'angle au centre d'un cercle est l'angle formé par deux rayons du cercle, c'est-à-dire l'angle dont le sommet est le centre du cercle et dont les côtés passent par deux points de la circonférence. La mesure d'un angle au centre est égale à la mesure de l'arc de cercle qu'il sous-tend. Le théorème de l'angle inscrit stipule que l'angle au centre est le double de tout angle inscrit qui intercepte le même arc. Si l'arc sous-tendu a une longueur l et que le cercle a un rayon r, alors l'angle au centre en radians vaut l/r.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître un angle au centre à la position de son sommet.
- Calculer une longueur d’arc à partir du rayon et d’un angle en radians.
- Relier l’angle au centre à l’angle inscrit interceptant le même arc.
- Éviter les confusions entre arc mineur, arc majeur, degrés et radians.
En clair
Imaginez une part découpée dans un disque : ses deux bords droits se rejoignent exactement au centre. L’ouverture entre ces deux rayons est un angle au centre. Plus elle s’élargit, plus l’arc compris entre leurs extrémités s’allonge.
Dans un cercle de rayon 6 cm, une ouverture de 60° délimite un sixième de la circonférence. Elle intercepte donc un arc de longueur 2π cm.
Définition
Dans un cercle de centre O, deux points A et B de la circonférence déterminent les rayons [OA] et [OB]. L’angle AÔB est un angle au centre : son sommet est O et ses côtés sont portés par les deux rayons. Il intercepte l’arc AB situé entre A et B dans l’ouverture considérée.
La mesure angulaire de cet arc est la même que celle de l’angle au centre. Si la mesure de l’angle, en radians, est notée θ, si la longueur de l’arc est notée l et si le rayon positif du cercle est noté r, alors . De façon équivalente, .
Un angle inscrit qui intercepte le même arc a son sommet sur l’autre arc du cercle. Sa mesure vaut la moitié de celle de l’angle au centre. Comme deux points délimitent un arc mineur et un arc majeur, il faut toujours préciser l’arc et l’ouverture retenus.
De quoi c'est fait
La configuration repose sur cinq éléments : le cercle, son centre O, deux points A et B de la circonférence, les rayons [OA] et [OB], puis l’arc AB intercepté. Le centre fixe le sommet de l’angle. Les points A et B fixent à la fois ses côtés et les extrémités de l’arc.
Dans l’exemple conducteur, OA et OB mesurent 6 cm et forment 60°. Le point C, placé sur l’autre arc, forme avec A et B un angle inscrit de 30°. Cette configuration relie ainsi le centre, l’arc intercepté et l’angle inscrit.
La taille ou l’orientation du dessin ne définit pas l’objet : une rotation ou un agrandissement conserve les relations angulaires. Le rayon et l’angle suffisent en revanche à calculer la longueur de l’arc intercepté.
Un exemple, pas à pas
On considère un cercle de centre O. Les données sont les suivantes :
• le rayon r mesure 6 cm ;
• l’angle au centre AÔB mesure 60° ;
• le point C appartient au grand arc AB, donc l’angle inscrit AĈB intercepte le petit arc AB.
• le rayon r mesure 6 cm ;
• l’angle au centre AÔB mesure 60° ;
• le point C appartient au grand arc AB, donc l’angle inscrit AĈB intercepte le petit arc AB.
1. Convertir l’angle en radians : .
2. Calculer la longueur l du petit arc avec l = rθ : .
3. Appliquer le théorème de l’angle inscrit : .
2. Calculer la longueur l du petit arc avec l = rθ : .
3. Appliquer le théorème de l’angle inscrit : .
Le petit arc AB mesure donc 2π cm et l’angle inscrit AĈB mesure 30°. Le contrôle est immédiat : le cercle entier mesure 12π cm, et un arc de 60° en représente un sixième, soit 12π ÷ 6 = 2π cm.
En pratique
Pour trouver la longueur d’un arc lorsque le rayon est connu, on convertit d’abord l’angle au centre en radians, puis on applique l = rθ. Si la longueur de l’arc est déjà connue, la relation θ = l/r donne directement l’angle en radians.
Dans une figure de géométrie, on repère d’abord le sommet. S’il coïncide avec le centre, l’angle est au centre ; s’il est sur la circonférence, il faut plutôt utiliser le théorème de l’angle inscrit.
Pour contrôler un calcul, on compare la fraction de tour et la fraction de circonférence. Un angle de 60° représente un sixième de 360° ; son arc doit donc représenter un sixième de la circonférence.
À ne pas confondre
Angle au centre et angle inscrit. Le critère décisif est la position du sommet. Au centre O, AÔB vaut 60° dans l’exemple ; sur la circonférence au point C, AĈB vaut 30° lorsqu’il intercepte le même petit arc AB.
Mesure de l’arc et longueur de l’arc. La première est une mesure angulaire, par exemple 60° ou π/3 radians. La seconde est une longueur, ici 2π cm, qui dépend aussi du rayon du cercle.
Limites et pièges
Arc mineur ou arc majeur. Deux points A et B délimitent deux arcs. Dans l’exemple, le petit arc correspond à 60°, tandis que le grand arc correspond à 300°. Sans précision, le dessin peut conduire à choisir la mauvaise ouverture.
Cas du diamètre. Si A et B sont diamétralement opposés, l’angle au centre vaut 180° et chaque demi-cercle est un arc possible. Un angle inscrit interceptant l’un de ces demi-cercles vaut alors 90°.
Rayons confondus. Quand A et B coïncident, les mêmes rayons peuvent décrire une ouverture nulle ou un tour complet. Il faut préciser si l’arc visé a une mesure de 0° ou de 360° avant d’appliquer une formule.
Unités dans l = rθ. Cette formule exige que θ soit exprimé en radians. Introduire directement 60 à la place de π/3 donnerait une longueur fausse, même si l’angle a été correctement lu en degrés.
Pour aller plus loin
Théorème de l’angle inscrit. Pour approfondir la relation de moitié entre un angle inscrit et l’angle au centre interceptant le même arc.
Arc. Pour distinguer l’arc géométrique, sa mesure angulaire et sa longueur sur la circonférence.
Radian. Pour relier naturellement une longueur d’arc au rayon et employer correctement la formule l = rθ.
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