GéométrieThéorème · Glossaire
théorème de l'angle inscrit
Un angle inscrit dans un cercle est un angle dont le sommet M est situé sur le cercle, et dont les deux côtés coupent le cercle en deux autres points B et C. L'arc de cercle délimité par B et C, du côté opposé à M, est appelé l'arc intercepté par cet angle. Le théorème de l'angle inscrit énonce que la mesure d'un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l'angle au centre qui intercepte le même arc. Cela implique également que l'angle inscrit est égal à l'angle formé par la tangente au cercle en B et la corde BC lorsque ces deux angles correspondent au même arc BC. Une conséquence importante est que tous les angles inscrits interceptant un même arc sont égaux entre eux. Ce théorème admet aussi une formulation dans le cadre des angles orientés, ce qui permet d'en unifier les cas.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître un angle inscrit, son arc intercepté et l'angle au centre associé.
- Appliquer le rapport de moitié à un angle au centre de 120° pour obtenir 60°.
- Vérifier les conditions portant sur le cercle, le sommet et le même arc intercepté.
- Distinguer angle inscrit, angle au centre, corde et angle entre tangente et corde.
- Traiter le cas du diamètre et éviter les erreurs liées au choix de l'arc.
En clair
Imaginez trois points B, C et M placés sur le bord d'un cercle. Depuis M, deux cordes rejoignent B et C et forment un angle. Au centre du cercle, les rayons allant vers B et C forment un second angle.
Si ces deux angles regardent le même arc entre B et C, celui placé sur le cercle mesure toujours la moitié de celui placé au centre. Un angle au centre de 120° donne donc un angle inscrit de 60°.
Définition
Soit un cercle de centre O. Trois points distincts B, C et M appartiennent à ce cercle. L'angle BMC est inscrit : son sommet M est sur le cercle et ses côtés rencontrent le cercle en B et C. L'arc BC qui ne contient pas M est l'arc intercepté par cet angle.
L'angle au centre BÔC qui intercepte ce même arc a pour sommet O et pour côtés les rayons OB et OC. Sa mesure doit correspondre exactement à l'arc intercepté : c'est l'angle central mineur pour l'arc mineur, ou l'angle rentrant pour l'arc majeur. Le théorème relie leurs mesures par . Par conséquent, deux angles inscrits dont les sommets sont situés sur un même arc et qui interceptent la même corde BC ont la même mesure.
Dans la formulation en angles orientés, la relation se lit modulo 180°. Cette écriture évite de séparer les configurations selon la position des points, tout en conservant l'exigence d'un même cercle et d'un même arc intercepté.
Le principe
Si B, C et M sont trois points distincts d'un cercle de centre O, et si l'angle BMC et l'angle au centre BÔC correspondent exactement au même arc BC, alors la mesure de l'angle inscrit BMC est la moitié de celle de BÔC. Pour un arc majeur, BÔC désigne ici l'angle rentrant.
La relation directement applicable est . Réciproquement, pour obtenir l'angle au centre, on double la mesure de l'angle inscrit.
Quand l'utiliser
Le théorème s'applique dans un même cercle. Le sommet M de l'angle inscrit doit appartenir au cercle, tandis que B et C sont les deux autres points où ses côtés rencontrent ce cercle. Le centre O doit être celui du cercle considéré.
Il faut surtout identifier le même arc BC : l'angle BMC intercepte l'arc situé à l'opposé de M, et la mesure de l'angle BÔC doit correspondre exactement à cet arc. On choisit donc l'angle central mineur pour l'arc mineur et l'angle rentrant pour l'arc majeur. La mesure de l'un des deux angles suffit alors à calculer l'autre.
Si M est à l'intérieur du disque mais pas sur le cercle, BMC n'est pas un angle inscrit. La règle de la moitié ne s'applique pas ; il faut utiliser les propriétés adaptées aux cordes sécantes.
Un exemple, pas à pas
Dans un cercle de centre O, les points B, C et M sont sur le cercle. L'angle au centre BÔC intercepte l'arc BC opposé à M et mesure 120°. On cherche la mesure de l'angle inscrit BMC.
1. Les deux angles ont pour extrémités B et C : ils interceptent donc le même arc BC.
2. Le sommet M appartient au cercle, tandis que le sommet O est son centre. Les hypothèses du théorème sont vérifiées.
3. On applique la relation : .
4. Le calcul donne . La figure met en regard l'ouverture de 120° au centre et celle de 60° sur le cercle.
Le contrôle consiste à doubler le résultat : 2 × 60° = 120°, ce qui retrouve bien la donnée initiale.
En pratique
Dans un exercice, repérez d'abord le centre du cercle et les extrémités de l'arc visé. Si l'angle connu a son sommet au centre, divisez sa mesure par deux pour obtenir l'angle inscrit qui intercepte le même arc.
Si deux angles ont leur sommet sur le même arc du cercle et s'appuient sur la même corde, vous pouvez conclure qu'ils sont égaux sans les mesurer. Si leurs sommets sont sur des arcs opposés, cette égalité directe n'est plus le bon réflexe.
Pour contrôler une construction, comparez l'angle inscrit au double annoncé au centre. Si le rapport deux pour un échoue, vérifiez d'abord que les deux angles interceptent réellement le même arc.
À ne pas confondre
Angle inscrit et angle au centre. Le sommet du premier est sur le cercle ; celui du second est au centre. Pour un même arc de 120°, leurs mesures sont respectivement 60° et 120°.
Arc intercepté et corde. L'arc BC suit le bord du cercle, tandis que la corde BC est le segment droit reliant B à C. L'angle intercepte l'arc et s'appuie sur la corde.
Angle inscrit et angle entre une tangente et une corde. Le premier est formé par deux cordes. Le second possède un côté tangent au cercle ; pour le même arc, leurs mesures sont égales, en choisissant les angles correspondants.
Limites et pièges
Mauvais arc. Une corde BC délimite deux arcs. Si l'angle au centre et l'angle inscrit ne regardent pas le même arc, appliquer mécaniquement le facteur 2 conduit à comparer des angles supplémentaires. Il faut nommer l'arc opposé au sommet M.
Demi-cercle. Lorsque BC est un diamètre, l'angle au centre vaut 180°. Tout angle inscrit qui intercepte le demi-cercle opposé vaut alors 90° : c'est le cas charnière du triangle rectangle inscrit dans un cercle.
Points confondus. Si B = C ou si M coïncide avec une extrémité, les côtés ou l'arc ne déterminent plus l'angle inscrit ordinaire attendu. Il faut écarter cette configuration dégénérée.
Angle non orienté. Une figure peut faire apparaître un angle saillant et un angle rentrant associés au même couple de demi-droites. Dans le cadre élémentaire, on précise l'arc intercepté ; avec des angles orientés, la relation se formule modulo 180°.
Pour aller plus loin
Angle au centre — Préciser sa construction et sa mesure aide à reconnaître le double de l'angle inscrit qui intercepte le même arc.
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