GéométrieNotion · Glossaire
arc capable
L'arc capable d'un angle donné relativement à un segment est, dans un demi-plan fixé, l'arc de cercle depuis les points duquel ce segment est vu sous cet angle constant. Plus précisément, étant donné un segment [AB] et un angle α, il est formé des points M de ce demi-plan, différents de A et B, tels que l'angle ∠AMB soit égal à α. Le cercle qui porte cet arc passe par A et B, en vertu du théorème de l'angle inscrit : tout angle inscrit dans un cercle qui intercepte un même arc est constant. Sans choix de demi-plan, le lieu complet comprend deux arcs symétriques par rapport à la droite (AB).
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le lieu des points qui voient un segment sous un angle fixé.
- Calculer le rayon et construire un arc capable pour AB = 6 cm et α = 60°.
- Distinguer les deux arcs symétriques et reconnaître les cas dégénérés.
En clair
Imaginez un segment [AB] posé devant vous et déplacez un point M sans quitter un même côté de la droite (AB). L’ouverture formée par les directions MA et MB change en général. Il existe pourtant une trajectoire courbe sur laquelle cette ouverture reste constante : c’est un arc capable.
Ainsi, plusieurs observateurs placés sur cet arc voient le segment [AB] sous le même angle. L’arc passe par A et B, mais ces deux extrémités ne sont pas des positions possibles pour M, car l’angle n’y serait pas défini.
Définition
Soient deux points distincts A et B, et un angle α strictement compris entre 0° et 180°. L’arc capable associé au segment [AB] et à l’angle α est le lieu des points M, différents de A et B, pour lesquels ∠AMB = α. Si l’on impose à M de rester dans un demi-plan bordé par la droite (AB), ce lieu est un arc d’un cercle passant par A et B.
Le théorème de l’angle inscrit explique cette constance : sur un même cercle, les angles inscrits qui interceptent la même corde [AB] et se trouvent sur le même arc ont la même mesure. Si la longueur AB est notée c et si le rayon du cercle est noté R, leur relation est . Cette formule détermine le rayon dès que c et α sont fixés.
Sans choix de demi-plan, on obtient deux arcs symétriques par rapport à la droite (AB), un de chaque côté. Pour α = 90°, ces deux arcs sont les deux demi-cercles du cercle de diamètre [AB]. Pour une construction sur un côté donné, le centre du cercle se place sur la médiatrice de [AB] ; parmi les deux centres possibles, on retient celui dont le cercle porte l’arc recherché dans ce demi-plan.
Un exemple, pas à pas
On veut construire, au-dessus de la droite (AB), l’arc depuis lequel le segment [AB] est vu sous un angle de 60°. Données :
– la longueur AB vaut 6 cm ;
– l’angle demandé, noté α, vaut 60° ;
– le milieu du segment est noté I.
– la longueur AB vaut 6 cm ;
– l’angle demandé, noté α, vaut 60° ;
– le milieu du segment est noté I.
1. Le rayon recherché, noté R, se calcule avec la relation entre une corde et un angle inscrit : , soit environ 3,46 cm.
2. Chaque centre possible appartient à la médiatrice de [AB]. Sa distance au milieu I, notée d, vaut , soit environ 1,73 cm.
3. On place le centre O à 1,73 cm au-dessus de I, puis on trace le cercle de centre O et de rayon 3,46 cm. L’arc recherché est la partie de ce cercle située au-dessus de [AB] qui relie A à B.
4. Un point M choisi au sommet de l’arc forme ici un triangle équilatéral avec A et B : les trois côtés mesurent 6 cm. On contrôle donc directement que ∠AMB = 60°. Le même contrôle par le théorème de l’angle inscrit vaut pour tout autre point M de l’arc, hors A et B.
En pratique
En construction géométrique, l’arc capable sert à placer un point M lorsque le segment [AB] et l’angle ∠AMB sont imposés. Si la distance MA ou MB est également connue, on intersecte l’arc avec le cercle correspondant à cette distance.
Pour vérifier qu’un point proposé convient, on mesure l’angle ∠AMB. Une mesure égale à l’angle demandé, à la précision de l’instrument, indique que M appartient à l’arc ; sinon, le point doit être déplacé.
Dans un problème de lieu géométrique, on choisit l’arc capable lorsque la donnée fixe l’angle sous lequel un segment est vu. Si la donnée fixe plutôt l’égalité MA = MB, la médiatrice de [AB] est le lieu adapté.
À ne pas confondre
Arc capable et angle au centre. Dans ∠AMB, le sommet M est sur le cercle ; c’est un angle inscrit. L’angle au centre a son sommet au centre O et intercepte la même corde [AB]. Pour un même arc intercepté, sa mesure vaut le double de celle de l’angle inscrit.
Arc capable et médiatrice. L’arc capable impose une mesure à ∠AMB. La médiatrice impose l’égalité MA = MB. Dans l’exemple où AB vaut 6 cm et ∠AMB vaut 60°, seul le sommet du triangle équilatéral appartient à la fois à l’arc choisi et à la médiatrice.
Arc capable et cercle circonscrit. Le cercle circonscrit est déterminé par trois points non alignés. L’arc capable est un lieu déterminé par un segment et un angle. Dès qu’un point M de l’arc est choisi, A, B et M déterminent le cercle qui porte cet arc.
Limites et pièges
Deux côtés possibles. Si l’énoncé ne précise pas de côté de la droite (AB), ne conservez pas un seul arc : le lieu complet comprend deux arcs symétriques. Un dessin limité à un demi-plan ne représente qu’une branche du lieu.
Extrémités exclues. Le cercle support passe par A et B, mais ces points ne font pas partie du lieu des positions de M. À M = A ou M = B, l’un des côtés de l’angle se réduit à un point et ∠AMB n’est pas défini.
Angles frontières. La construction circulaire ordinaire suppose 0° < α < 180°. À 0°, des points alignés hors du segment donnent une ouverture nulle ; à 180°, des points intérieurs au segment donnent un angle plat. Ces lieux dégénérés ne sont plus des arcs de cercle passant par A et B au sens précédent.
Mesure sur le mauvais arc. Sur un même cercle, choisir l’arc complémentaire change l’arc intercepté et remplace α par 180° − α. Pour éviter cette erreur, vérifiez un point témoin avant de retenir toute la branche. Dans l’exemple, le sommet du triangle équilatéral donne bien 60°.
Pour aller plus loin
Théorème de l'angle inscrit — Il justifie pourquoi tous les points d’un même arc voient une corde sous un angle constant.
Angle au centre — Il relie l’ouverture inscrite à l’angle qui intercepte la même corde depuis le centre du cercle.
Lieu géométrique — Il replace l’arc capable dans la famille des ensembles de points définis par une propriété commune.
Médiatrice — Elle donne la droite qui porte les centres possibles des cercles passant par A et B.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres