GéométrieNotion · Glossaire
Diamétralement opposés
Deux points sont dits diamétralement opposés sur un cercle (ou une sphère) si le segment qui les joint est un diamètre, c'est-à-dire s'ils sont symétriques par rapport au centre. Sur un cercle de centre O et de rayon r, deux points A et B sont diamétralement opposés si O est le milieu de AB. Le théorème de Thalès affirme que tout angle inscrit dans un demi-cercle est un angle droit : l'angle en tout point du cercle (autre que les extrémités du diamètre) est de 90 degrés.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître deux points diamétralement opposés grâce au centre et au milieu du segment.
- Calculer la longueur du diamètre à partir du rayon dans un exemple de 5 cm.
- Relier un diamètre à l’angle inscrit de 90° et distinguer les cas où la propriété ne s’applique pas.
- Étendre le critère au cas d’une sphère sans supposer un grand cercle unique.
En clair
Imaginez un point A sur le bord d’un cercle, puis tracez une droite qui passe par A et par le centre O. Elle recoupe le cercle en un point B. Les points A et B sont diamétralement opposés : ils occupent les deux extrémités d’un même diamètre. Le centre O se trouve exactement à mi-chemin. Un demi-tour autour de O envoie donc A sur B.
Définition
Sur un cercle de centre O et de rayon positif r, deux points distincts A et B sont diamétralement opposés lorsque le segment AB est un diamètre. Cela impose trois faits liés : A et B appartiennent au cercle, les points A, O et B sont alignés, et O est le milieu de AB. Ainsi, OA et OB valent chacun r, tandis que AB vaut 2r. En termes de vecteurs dirigés depuis O, le critère s’écrit .
Sur une sphère, le même critère s’applique : le segment joignant les deux points passe par le centre et mesure deux fois le rayon. Ces points sont aussi appelés antipodaux. Sur un cercle, si A et B sont les extrémités d’un diamètre, tout autre point M du cercle forme l’angle inscrit AMB de 90°. C’est la propriété du demi-cercle traditionnellement attribuée à Thalès.
Un exemple, pas à pas
Considérons un cercle de centre O et de rayon 5 cm. Les points A et B se trouvent sur une même droite passant par O, de part et d’autre du centre. Un point M est placé ailleurs sur le cercle. Un schéma du cercle rend visibles le diamètre AB et l’angle formé en M.
Données : OA = 5 cm ; OB = 5 cm ; O est entre A et B ; M appartient au cercle et diffère de A et B.
Données : OA = 5 cm ; OB = 5 cm ; O est entre A et B ; M appartient au cercle et diffère de A et B.
1. Additionnons les deux portions du segment AB, puisque O est situé entre ses extrémités.
2. Le segment AB passe par O et sa longueur vaut deux fois le rayon. Il s’agit donc d’un diamètre ; A et B sont diamétralement opposés.
3. Appliquons la propriété de l’angle inscrit dans un demi-cercle : l’angle AMB mesure 90°.
Le contrôle est refaisable : le milieu du segment de 10 cm se trouve à 5 cm de A et à 5 cm de B, exactement en O.
En pratique
Pour construire le point diamétralement opposé à A, on trace la droite AO jusqu’à sa seconde intersection avec le cercle. Si le centre n’est pas connu, cette construction ne suffit pas : il faut d’abord le déterminer.
Dans une figure, on reconnaît un diamètre en contrôlant que ses deux extrémités sont sur le cercle et qu’il passe par le centre. Une corde qui évite le centre ne convient pas, même si elle paraît presque aussi longue.
Pour établir qu’un angle inscrit est droit, on peut montrer que le côté opposé à cet angle est un diamètre. Si ce segment ne passe pas par le centre, il faut mesurer ou calculer l’angle par une autre propriété.
À ne pas confondre
Deux points opposés sur un dessin. Leur position visuelle ne suffit pas. Ils sont diamétralement opposés seulement si leur segment passe par le centre et a ses deux extrémités sur le cercle. Deux points placés de part et d’autre sans cet alignement ne conviennent pas.
Une corde et un diamètre. Une corde joint deux points du cercle, mais seul un diamètre passe par le centre. Dans le cercle de rayon 5 cm, une corde de 8 cm n’a donc pas des extrémités diamétralement opposées ; le diamètre mesure 10 cm.
Les deux théorèmes appelés « de Thalès ». Ici, la propriété porte sur l’angle droit inscrit dans un demi-cercle. Le théorème de proportionnalité concerne des droites parallèles et des rapports de longueurs ; son critère observable est différent.
Limites et pièges
Le centre seul ne suffit pas. Deux points alignés avec O mais situés à des distances différentes du centre ne sont pas les extrémités d’un même diamètre du cercle. Il faut aussi vérifier OA = OB = r.
Les extrémités du diamètre sont exclues pour l’angle inscrit. Dans l’exemple, M doit différer de A et B. Si M coïncide avec une extrémité, l’un des côtés de l’angle a une longueur nulle : l’angle AMB n’est pas défini comme un angle inscrit de 90°.
Le cercle doit avoir un rayon positif. Pour r = 0, le cercle se réduit au seul point O et ne possède pas deux extrémités distinctes d’un diamètre. La formulation usuelle suppose donc r > 0.
Sur une sphère, le diamètre n’impose pas un plan unique. Deux points antipodaux et le centre sont alignés, mais une infinité de plans passant par cette droite coupent la sphère en grands cercles. Il ne faut donc pas chercher un unique demi-cercle entre eux.
Pour aller plus loin
Angle droit — Pour préciser la mesure de 90° obtenue lorsque l’angle inscrit intercepte un diamètre.
théorème de Thalès — Pour situer les différents énoncés associés à Thalès et leurs hypothèses.
Le roi de la géométrie : le théorème de Thalès — Pour replacer le théorème dans un parcours géométrique plus large.
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