GéométrieNotion · Glossaire
point antipodal
Sur une sphère, le point antipodal d'un point donné P est l'unique point diamétralement opposé à P, c'est-à-dire le point P' tel que le segment PP' soit un diamètre de la sphère et passe par son centre. Leur distance euclidienne, mesurée en ligne droite, est maximale et égale au diamètre 2R ; leur distance géodésique, mesurée sur la surface, vaut πR. Sur la sphère terrestre, par exemple, les points antipodaux à la surface correspondent à des lieux situés aux deux extrémités d'un même diamètre du globe.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître deux points antipodaux par leur alignement avec le centre.
- Construire l'antipode d'un point sur une sphère.
- Calculer le diamètre dans un exemple de rayon 5 cm.
- Distinguer distance en ligne droite et distance parcourue sur la surface.
En clair
Imaginez une orange traversée par une aiguille qui passe exactement par son centre. Si l'aiguille entre en un point de la peau et ressort de l'autre côté, ces deux points sont antipodaux.
Le centre se trouve au milieu du segment qui les relie. Sur une sphère donnée, chaque point possède un seul antipode : il faut prolonger son rayon dans la direction opposée jusqu'à retrouver la surface.
Définition
Considérons une sphère de centre O et de rayon positif R. Pour un point P situé sur cette sphère, son point antipodal, noté P′, est le point de la même sphère placé sur la droite (OP), de l'autre côté de O. Les points P, O et P′ sont alignés, et O est le milieu du segment [PP′].
Ces relations s'écrivent :
Ici, PP′ mesure la distance en ligne droite dans l'espace. Le segment [PP′] est un diamètre de la sphère ; sa longueur est la plus grande distance euclidienne entre deux points de cette sphère.
Dans un repère dont l'origine est O, si P a pour vecteur de position p, alors P′ a pour vecteur −p. Plus généralement, l'antipode est l'image de P par la symétrie centrale de centre O. Appliquer deux fois cette transformation ramène au point P.
Un exemple, pas à pas
Prenons une sphère de centre O et de rayon 5 cm. Un point P est choisi sur sa surface ; nous construisons son antipode P′ et vérifions les longueurs obtenues.
Données :
centre de la sphère : O ;
rayon : R = 5 cm ;
point de départ : P sur la sphère.
centre de la sphère : O ;
rayon : R = 5 cm ;
point de départ : P sur la sphère.
1. Tracer la droite passant par P et O.
2. Prolonger le segment [PO] au-delà de O jusqu'à la surface ; le point rencontré est P′.
3. Vérifier que OP′ = OP = 5 cm.
4. Additionner les deux rayons alignés : PP′ = PO + OP′ = 5 + 5 = 10 cm.
2. Prolonger le segment [PO] au-delà de O jusqu'à la surface ; le point rencontré est P′.
3. Vérifier que OP′ = OP = 5 cm.
4. Additionner les deux rayons alignés : PP′ = PO + OP′ = 5 + 5 = 10 cm.
On obtient P, O et P′ alignés, avec O au milieu de [PP′]. Le contrôle est refaisable en mesurant chaque demi-segment : deux longueurs de 5 cm donnent bien le diamètre de 10 cm.
En pratique
Sur un globe, on cherche l'antipode d'un lieu en traçant mentalement le diamètre qui passe par le centre de la Terre. Une carte plane peut déformer ce geste ; un globe ou un modèle sphérique convient mieux pour vérifier que les deux lieux sont diamétralement opposés.
Dans un repère centré sur la sphère, on remplace les coordonnées d'un point par leurs opposées. Cette méthode algébrique est préférable à une construction lorsque les coordonnées sont déjà connues.
Dans une construction géométrique, on prolonge plutôt le rayon [OP] au-delà du centre et on reporte la même longueur. L'alignement avec O et l'égalité OP = OP′ fournissent alors deux contrôles observables.
À ne pas confondre
Un pôle opposé dépend d'un axe choisi, alors que l'antipode d'un point dépend de ce point et du centre de la sphère. Sur la Terre, un point de l'équateur a bien un antipode, mais ni l'un ni l'autre n'est nécessairement un pôle.
Le symétrique central d'un point peut être construit dans tout l'espace. Il devient un point antipodal lorsque le point de départ et son image appartiennent à une même sphère centrée au centre de la symétrie.
Limites et pièges
La distance dépend du chemin mesuré. Pour une sphère de rayon R, la distance en ligne droite entre deux antipodes vaut 2R. La plus courte distance suivie sur la surface le long d'un grand cercle vaut πR. Dans l'exemple, ces valeurs sont 10 cm et 5π cm, soit environ 15,7 cm.
L'antipode est unique, mais le trajet de surface ne l'est pas. Une infinité de grands cercles passent par deux points antipodaux. Chacun fournit un demi-cercle de même longueur entre P et P′ ; il ne faut donc pas chercher un unique itinéraire sur la sphère.
Une carte plane peut masquer l'opposition. Deux antipodes peuvent apparaître près de bords différents ou sous des formes déformées. Pour trancher, il faut revenir au centre du globe ou utiliser des coordonnées sphériques cohérentes.
Pour aller plus loin
Le glossaire symétrie centrale replace la transformation P ↦ P′ dans un cadre géométrique plus général.
La fiche sphère terrestre précise le modèle géométrique sur lequel la notion d'antipode s'applique aux lieux du globe.
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