antipodie

Imaginez une sphère traversée par une droite passant par son centre. Cette droite coupe la surface en deux points : chacun est l'antipode de l'autre. Pour passer d'un point à son antipode, on traverse donc le centre et on parcourt encore la même distance.

L'antipodie est le geste qui effectue ce passage pour tous les points de la sphère. Les distances mesurées dans l'espace sont conservées, et deux applications successives ramènent au point de départ.

Dans un espace euclidien, on considère une sphère de centre O et de rayon strictement positif. L'antipodie est l'application qui envoie chaque point P de cette sphère sur l'autre intersection P′ de la droite (OP) avec la sphère. Le centre O est le milieu du segment [PP′] : les points P et P′ sont diamétralement opposés.

Cette application est la restriction à la sphère de la symétrie centrale de centre O. En notation affine, si a désigne l'antipodie, elle s'écrit $a(P)=2O-Pa(P)=2O-P$. En termes de vecteurs, le vecteur allant de O vers P′ est l'opposé de celui allant de O vers P.

L'antipodie est une isométrie : elle conserve les distances euclidiennes entre les images des points. Elle est aussi involutive, car $a(a(P))=Pa(a(P))=P$. Sur une sphère de rayon strictement positif, elle n'a aucun point fixe.

Données. Dans l'espace muni de coordonnées, la sphère a pour centre O = (0, 0, 0) et pour rayon 5. Le point choisi est P = (3, 4, 0). On cherche son antipode P′.

1. On vérifie que P appartient à la sphère : $3^2+4^2+0^2=25=5^{2}3^2+4^2+0^2=25=5^2$.

2. Comme le centre est l'origine, l'antipodie change le signe de chaque coordonnée. On obtient P′ = (−3, −4, 0).

3. Le point P′ est bien sur la même sphère, puisque $(-3{)}^2+(-4{)}^2+0^2=25(-3)^2+(-4)^2+0^2=25$.

4. Pour contrôler le résultat, le milieu de P et P′ est O, et la distance PP′ vaut 10, soit le diamètre de la sphère. Les trois points sont donc alignés dans l'ordre P, O, P′.

Construire l'antipode. Tracez la droite passant par le point P et le centre O de la sphère. La seconde intersection avec la surface est P′. Si le centre n'est pas connu, cette construction n'est pas déterminée : il faut d'abord identifier O.

Calculer avec des coordonnées. Lorsque le centre O est donné, utilisez P′ = 2O − P coordonnée par coordonnée. Le simple changement de tous les signes convient seulement lorsque O est l'origine.

Contrôler une réponse. Vérifiez que O est le milieu de [PP′] et que P′ appartient à la sphère. Ce double contrôle est préférable à une lecture approximative du dessin.

Antipodie et symétrie centrale. La symétrie centrale de centre O agit sur tout l'espace euclidien. L'antipodie est sa restriction aux points d'une sphère de même centre O. Un point intérieur à la boule possède une image par symétrie centrale, mais cette transformation n'est pas l'antipodie sur la sphère.

Antipode et point opposé sur un dessin. Deux points placés de part et d'autre d'un cercle ne sont antipodaux que si leur segment passe par le centre et forme un diamètre. Une apparence visuelle opposée ne suffit pas.

Rayon nul. Si la « sphère » se réduit au seul point O, il n'existe pas d'autre extrémité d'un diamètre. La description par un point diamétralement opposé suppose donc un rayon strictement positif.

Centre différent de l'origine. Remplacer P par −P donne l'antipode seulement lorsque O est l'origine des coordonnées. Dans le cas général, il faut appliquer P′ = 2O − P.

Involution et identité. Le retour au point initial après deux applications ne signifie pas que chaque point reste immobile. Sur une sphère de rayon positif, une application déplace chaque point vers un point distinct.

La symétrie centrale replace l'antipodie dans l'espace entier et explicite la transformation dont elle est la restriction à la sphère.