GéométrieNotion · Glossaire
symétrie centrale
Une symétrie centrale de centre O est une transformation géométrique qui, à tout point M du plan ou de l'espace, associe l'unique point M' tel que O soit le milieu du segment [MM']. Chaque point est donc envoyé sur son symétrique par rapport au point O. Dans le plan, cette transformation coïncide avec la rotation de centre O et d'angle π (soit 180°), et constitue à ce titre un déplacement, c'est-à-dire une isométrie directe.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Visualiser la symétrie centrale comme un demi-tour autour d'un point.
- Caractériser l'image M' par le fait que O est le milieu du segment [MM'].
- Calculer l'image de M(5 ; 3) par rapport à O(2 ; 1) et contrôler M'(−1 ; −1).
- Distinguer la symétrie centrale d'une symétrie axiale, d'une translation et d'une rotation d'un autre angle.
- Comprendre pourquoi l'interprétation comme rotation directe est propre au plan.
En clair
Piquez une feuille au point O, puis faites-lui faire un demi-tour sans déplacer la pointe. Un point M arrive en M' de l'autre côté de O. Les trois points sont alignés, et M' se trouve exactement aussi loin de O que M.
Ce demi-tour est une symétrie centrale. Le centre O joue le rôle de pivot et de milieu entre chaque point et son image. La figure change de place, mais ses longueurs et ses angles restent les mêmes.
Définition
La symétrie centrale de centre O transforme tout point M du plan ou de l'espace en un unique point M'. Le point O doit être le milieu du segment [MM'] : les points M, O et M' sont alignés, O appartient au segment, et les longueurs OM et OM' sont égales. En langage vectoriel, cette condition s'écrit .
Dans un repère, si le centre O a pour coordonnées (a ; b) et si M a pour coordonnées (x ; y), alors les coordonnées (x' ; y') de son image M' sont données par . Le centre lui-même est l'unique point fixe : lorsque M = O, son image est encore O.
La transformation conserve les distances et les angles. Dans le plan, elle est exactement la rotation de centre O et d'angle 180° ; elle conserve donc aussi l'orientation et constitue une isométrie directe, appelée déplacement. Dans l'espace, la même définition par le milieu reste valable, mais la transformation n'est pas une rotation autour d'un axe et inverse l'orientation.
Un exemple, pas à pas
Construisons l'image du point M(5 ; 3) par la symétrie centrale de centre O(2 ; 1). Les données sont les coordonnées du centre a = 2 et b = 1, ainsi que celles du point x = 5 et y = 3.
1. Pour la première coordonnée, appliquons x' = 2a − x : x' = 2 × 2 − 5 = −1.
2. Pour la seconde coordonnée, appliquons y' = 2b − y : y' = 2 × 1 − 3 = −1. Le point cherché est donc M'(−1 ; −1). La construction associe ces calculs au segment dont O est le milieu.
3. Vérifions le milieu : la moyenne des abscisses vaut (5 + (−1))/2 = 2, et la moyenne des ordonnées vaut (3 + (−1))/2 = 1. On retrouve exactement les coordonnées de O.
4. Un second contrôle porte sur les vecteurs : de O vers M, le déplacement est de 3 unités vers la droite et 2 vers le haut ; de O vers M', il est de 3 unités vers la gauche et 2 vers le bas. Les deux déplacements sont opposés.
En pratique
Pour construire le symétrique d'un point à la règle et au compas, tracez la droite passant par M et O, puis reportez la longueur OM de l'autre côté de O. Si un quadrillage fournit des coordonnées, le calcul x' = 2a − x et y' = 2b − y est plus direct.
Pour tester si deux points sont symétriques par rapport à O, calculez leur milieu. La symétrie centrale convient exactement si ce milieu est O ; sinon, il faut chercher un autre centre ou une autre transformation.
Pour reconnaître un centre de symétrie d'une figure, imaginez un demi-tour autour du point candidat. Chaque point du contour doit alors tomber dans la représentation. Si seule une réflexion dans une droite superpose la figure, il s'agit plutôt d'une symétrie axiale.
À ne pas confondre
Symétrie centrale et symétrie axiale. La première utilise un point O et place M' sur la droite (MO), de l'autre côté du centre. La seconde utilise une droite et, lorsque M n'appartient pas à cet axe, place le segment [MM'] perpendiculairement à celui-ci. Un demi-tour distingue donc la symétrie centrale d'un effet de miroir.
Symétrie centrale et translation. Une translation applique le même vecteur à tous les points, tandis que le déplacement de M vers M' dépend de la position de M par rapport à O. Dans l'exemple, le centre O reste fixe : une translation non nulle ne pourrait pas avoir ce point fixe.
Symétrie centrale et rotation quelconque. Dans le plan, toute symétrie centrale est une rotation de 180°, mais une rotation d'un autre angle n'en est pas une. Après deux applications, un demi-tour ramène toujours chaque point à sa position initiale.
Limites et pièges
Le point confondu avec le centre. Si M = O, le segment [MM'] est réduit à un point et M' = O. Il ne faut pas chercher un second point à distance non nulle : le centre est l'unique point fixe de la transformation.
La distance seule ne suffit pas. Trouver OM = OM' ne prouve pas que M' est le symétrique de M : de nombreux points sont à la même distance de O. Il faut aussi vérifier l'alignement et que O se situe entre M et M', ou vérifier directement que O est leur milieu.
Le demi-tour appartient au plan. Dans l'espace, envoyer chaque vecteur sur son opposé définit toujours la symétrie centrale et conserve les distances. Cependant, ce n'est pas une rotation autour d'un axe : elle inverse l'orientation. La qualification d'isométrie directe donnée par la rotation de 180° vaut donc dans le plan.
Pour aller plus loin
Composer deux symétries centrales permet d'observer une structure plus générale : si leurs centres sont distincts, le résultat est une translation. Le vecteur de cette translation est égal au double du vecteur allant du premier centre vers le second ; l'ordre des deux symétries fixe donc son sens.
Une figure possède un centre de symétrie lorsqu'un demi-tour la superpose à elle-même. Cette propriété relie la transformation aux parallélogrammes, dont l'intersection des diagonales est un centre de symétrie, et plus largement aux motifs invariants par rotation de 180°.
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