GéométrieNotion · Glossaire
symétrie orthogonale
Dans le plan, la symétrie orthogonale d'axe (D) associe à tout point M l'unique point M' tel que (D) soit la médiatrice du segment [MM'] : M et M' sont donc à égale distance de l'axe, sur une même perpendiculaire. Dans l'espace, la symétrie orthogonale d'axe (D) associe à M son symétrique par rapport au point où (D) coupe le plan perpendiculaire à (D) passant par M. La symétrie orthogonale par rapport à un plan (P) associe à M l'unique point M' tel que (P) soit le plan médiateur de [MM'].
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Construire l'image d'un point par rapport à une droite et contrôler le résultat.
- Relier la symétrie plane à la médiatrice du segment joignant un point à son image.
- Distinguer dans l'espace la symétrie d'axe, rotation de demi-tour, et la symétrie de plan.
- Éviter la confusion avec une projection orthogonale ou une symétrie centrale.
En clair
Imaginez une feuille pliée le long d'une droite. Un point M imprimé sur un côté marque, par transparence, un point M' de l'autre côté. Les deux points sont à la même distance du pli, sur une direction perpendiculaire à celui-ci. Le pli coupe donc le segment MM' en son milieu : il joue le rôle d'axe de symétrie.
Dans l'espace, le même principe peut prendre pour repère une droite, comme un demi-tour autour d'un axe, ou un plan, comme le reflet de part et d'autre d'une surface plane.
Définition
Dans le plan, la symétrie orthogonale d'axe (D) associe à chaque point M un unique point M'. La droite (D) doit être la médiatrice du segment MM' : elle coupe ce segment en son milieu et lui est perpendiculaire. Si M appartient à (D), son image est M lui-même. Cette transformation conserve les distances et les angles, mais renverse l'orientation ; c'est pourquoi elle est qualifiée d'antidéplacement.
Dans l'espace, l'expression recouvre deux transformations. Par rapport à un axe (D), le point M qui n'est pas sur l'axe et son image M' se trouvent dans l'unique plan passant par M et (D) ; dans ce plan, (D) est la médiatrice de MM'. La transformation est exactement la rotation de demi-tour, d'angle π, autour de (D). Elle conserve l'orientation : c'est un déplacement. Les points de l'axe restent fixes.
Par rapport à un plan (P), ce plan est le plan médiateur de MM' : le segment est perpendiculaire à (P), et son milieu appartient à (P). Les points du plan restent fixes. Cette symétrie renverse l'orientation de l'espace : c'est un antidéplacement. Le mot « orthogonale » décrit donc la perpendicularité entre MM' et le support médiateur, pas une direction obligatoirement verticale ou horizontale.
Un exemple, pas à pas
Dans un repère du plan, prenons pour axe (D) la droite d'équation x = 0, c'est-à-dire l'axe vertical. Le point M a pour coordonnées (3, 2). Nous cherchons son symétrique M'. Le schéma matérialise le segment perpendiculaire à l'axe et son milieu H.
Données.
Axe : (D), d'équation x = 0.
Point de départ : M(3, 2).
Pied de la perpendiculaire sur (D) : H(0, 2).
Axe : (D), d'équation x = 0.
Point de départ : M(3, 2).
Pied de la perpendiculaire sur (D) : H(0, 2).
Étape 1. Depuis M, la perpendiculaire à l'axe (D) est horizontale. Elle rencontre (D) au point H(0, 2). La distance MH vaut 3 unités.
Étape 2. Prolongeons cette droite de 3 unités de l'autre côté de H. Nous obtenons M'(-3, 2), car la symétrie par rapport à x = 0 change le signe de l'abscisse x et conserve l'ordonnée y :
Contrôle. Les points M, H et M' sont alignés horizontalement, donc MM' est perpendiculaire à (D). De plus, MH = HM' = 3 unités. Ainsi H est le milieu du segment MM', qui mesure 6 unités, et (D) en est bien la médiatrice.
En pratique
Sur une figure papier. Pour construire l'image d'un point par rapport à une droite oblique, on trace la perpendiculaire passant par le point, puis on reporte la même distance après l'axe. Sur un quadrillage avec un axe x = 0, le changement de signe de l'abscisse est plus direct.
Pour contrôler une construction. Mesurer seulement MH = HM' ne suffit pas : H doit aussi appartenir à l'axe et le segment MM' doit lui être perpendiculaire. Ces trois observations établissent que l'axe est bien la médiatrice.
Dans l'espace. Le support choisi détermine le geste. Un axe impose un demi-tour autour de cette droite ; un plan impose un passage à égale distance de l'autre côté du plan. Il faut donc identifier le support avant de parler de symétrie orthogonale.
À ne pas confondre
Symétrie centrale. Dans le plan, elle a pour support un point O, milieu de MM', et équivaut à un demi-tour autour de O. Avec O(0, 0), le point M(3, 2) devient (-3, -2), alors que la symétrie orthogonale d'axe x = 0 donne M'(-3, 2).
Projection orthogonale. La projection de M sur l'axe (D) s'arrête au pied H(0, 2). La symétrie orthogonale poursuit sur la même perpendiculaire jusqu'au point M'(-3, 2), situé à la même distance de l'axe que M. Le critère qui tranche est donc l'appartenance du résultat à l'axe.
Bissectrice d'un angle. Une bissectrice partage un angle en deux angles égaux ; une médiatrice est perpendiculaire à un segment en son milieu. Une droite peut jouer les deux rôles dans une figure particulière, mais les propriétés à vérifier ne sont pas les mêmes.
Limites et pièges
Point sur le support. Si M appartient à l'axe dans le plan, ou au plan dans l'espace, la distance au support est nulle et M' = M. Le segment MM' est alors réduit à un point : il ne faut pas chercher une perpendiculaire de longueur positive.
Point sur l'axe dans l'espace. Pour une symétrie d'axe, M' = M. Le « plan déterminé par M, M' et (D) » n'est alors pas unique ; la définition sans ambiguïté de la transformation reste la rotation d'angle π autour de (D).
Deux sens dans l'espace. Une symétrie orthogonale d'axe est un demi-tour et conserve l'orientation, tandis qu'une symétrie orthogonale de plan la renverse. Employer le terme sans nommer l'axe ou le plan laisse donc la transformation indéterminée.
Axe incliné. Orthogonal ne signifie ni vertical ni horizontal. Si l'axe est oblique, le segment joignant un point à son image doit être perpendiculaire à cet axe ; changer seulement le signe d'une coordonnée ne fonctionne que dans un repère adapté.
Pour aller plus loin
La Médiatrice détaille le lieu des points équidistants des extrémités d'un segment, propriété qui définit l'axe dans le plan.
Le plan médiateur transpose cette relation à l'espace et précise le support de la symétrie orthogonale par rapport à un plan.
La symétrie centrale permet de comparer un support ponctuel au support linéaire de la symétrie orthogonale dans le plan.
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