GéométrieObjet géométrique · Glossaire
plan de symétrie
Dans l'espace à trois dimensions, un plan de symétrie d'une figure géométrique est un plan P tel que la symétrie orthogonale par rapport à P laisse cette figure globalement invariante : chaque point de la figure a son image dans la même figure. On dit alors que la figure est symétrique par rapport à ce plan. Deux plans de symétrie non parallèles s'intersectent suivant une droite, mais l'intersection commune de plusieurs plans de symétrie peut être réduite à un point ou être vide.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier un plan de symétrie à une réflexion orthogonale.
- Vérifier l’invariance d’un cube décrit par ses coordonnées.
- Distinguer un plan de symétrie d’un plan de coupe et d’un axe.
- Interpréter avec prudence l’intersection de plusieurs plans de symétrie.
En clair
Imaginez un cube traversé par une plaque qui passe exactement par son centre, parallèlement à deux faces opposées. Chaque point situé d’un côté possède un point jumeau de l’autre côté, à la même distance de la plaque. Les points placés sur la plaque ne bougent pas.
Si ce retournement perpendiculaire échange les deux moitiés sans modifier le cube dans son ensemble, la plaque idéale représente un plan de symétrie. Il ne suffit donc pas que la coupe donne deux morceaux : ceux-ci doivent se correspondre point par point.
Définition
Soit une figure de l’espace, c’est-à-dire un ensemble de points F, et un plan P. La symétrie orthogonale par rapport à P associe à chaque point M un point M’. Lorsque M n’appartient pas à P, le segment MM’ est perpendiculaire à P et son milieu appartient à P. Lorsque M appartient à P, il reste fixe.
Le plan P est un plan de symétrie de F lorsque l’image de la figure entière est exactement la figure initiale : , où sP désigne cette symétrie. Autrement dit, tout point de F a son symétrique dans F, et réciproquement. L’égalité porte sur l’ensemble global ; un point individuel n’est fixe que s’il se trouve dans P.
Pour deux plans de symétrie non parallèles, leur droite d’intersection devient un axe de rotation de la figure : la composition des deux réflexions est une rotation autour de cette droite. Cette propriété ne signifie pas que l’intersection de tous les plans de symétrie d’une figure soit toujours une droite.
De quoi c'est fait
Quatre éléments structurent la notion. La figure F est l’ensemble à tester. Le plan P joue le rôle de miroir géométrique. La transformation sP envoie chaque point M sur son image M’. Lorsque M n’appartient pas à P, le segment MM’ matérialise la correspondance : P le coupe en son milieu et lui est perpendiculaire. Lorsque M appartient à P, il reste fixe et M = M’.
Le plan détermine donc la transformation, puis la transformation permet de comparer F à son image. Ces données suffisent à construire l’image de chaque point et à décider si P est bien un plan de symétrie. La couleur, l’échelle du dessin ou le côté depuis lequel on regarde ne définissent pas la propriété ; seule compte la coïncidence de l’ensemble des points après transformation.
Un exemple, pas à pas
Considérons le cube formé des points dont les trois coordonnées x, y et z sont comprises entre −1 et 1. Le plan candidat P a pour équation x = 0. Prenons dans le cube le point A de coordonnées (1 ; 0,5 ; −0,5).
1. La réflexion par rapport à P change seulement le signe de la coordonnée x.
2. L’image de A est donc le point A’ de coordonnées (−1 ; 0,5 ; −0,5).
3. Les trois coordonnées de A’ restent comprises entre −1 et 1 : A’ appartient au cube.
4. Le même raisonnement vaut pour tout point du cube, car remplacer x par −x conserve l’intervalle [−1 ; 1].
2. L’image de A est donc le point A’ de coordonnées (−1 ; 0,5 ; −0,5).
3. Les trois coordonnées de A’ restent comprises entre −1 et 1 : A’ appartient au cube.
4. Le même raisonnement vaut pour tout point du cube, car remplacer x par −x conserve l’intervalle [−1 ; 1].
Le cube est donc globalement invariant : P est l’un de ses plans de symétrie. Le contrôle géométrique donne le même verdict. Le milieu H de AA’ a pour coordonnées (0 ; 0,5 ; −0,5), donc H appartient à P, et AA’ est dirigé selon l’axe des x, perpendiculaire à P. La figure représente cette correspondance sans remplacer le contrôle sur tous les points.
En pratique
Sur un solide défini par des coordonnées, on applique la réflexion à un point quelconque, puis on contrôle que les conditions décrivant le solide restent vraies. Pour le cube [−1 ; 1]3, le remplacement de x par −x conserve les trois intervalles.
Sur une construction géométrique, on choisit quelques points remarquables pour chercher un plan candidat, mais ces vérifications ne constituent qu’un indice. Il faut ensuite justifier la correspondance de toute la figure, pas seulement celle des sommets sélectionnés.
Si la figure est décrite par une équation, le bon geste consiste à remplacer la coordonnée perpendiculaire au plan par son opposée. Si l’équation reste équivalente, le test établit l’invariance ; sinon, une simple ressemblance visuelle ne suffit pas.
À ne pas confondre
Plan de symétrie et axe de symétrie. Un plan produit une réflexion dans l’espace ; une droite est un axe de symétrie de rotation lorsqu’une rotation d’un angle déterminé autour de cette droite laisse la figure inchangée. Pour le cube, le plan x = 0 échange les points (1 ; y ; z) et (−1 ; y ; z), tandis qu’un demi-tour autour d’une droite agit autrement.
Plan de symétrie et plan de coupe. Un plan de coupe sert seulement à partager ou à sectionner une figure. Le test décisif est la réflexion : une coupe décentrée du cube produit bien une section, mais elle n’échange pas deux parties correspondantes et n’est pas un plan de symétrie.
Symétrie plane et symétrie centrale. La première fixe tous les points d’un plan ; la seconde fixe un centre et envoie chaque point de l’autre côté de ce centre. Le lieu des points fixes permet donc de trancher.
Limites et pièges
Quelques points ne prouvent pas l’invariance. Des sommets peuvent se répondre alors qu’une partie courbe ou un point intérieur ne le fait pas. Il faut vérifier que l’image de tout l’ensemble est exactement l’ensemble initial.
Plusieurs plans n’ont pas nécessairement une intersection commune qui soit une droite. Deux plans distincts non parallèles se coupent suivant une droite, et deux réflexions associées donnent une rotation autour de cette droite. Avec trois plans ou davantage, leur intersection commune peut être plus petite : les plans de symétrie du cube ont tous son centre en commun, mais pas une même droite.
Le parallélisme exige une précaution. Deux plans parallèles distincts ne se coupent pas. Pour une figure bornée non vide, ils ne peuvent pas tous deux être des plans de symétrie, car leur composition serait une translation non nulle laissant la figure invariante. Cette conclusion ne s’étend pas sans hypothèse aux figures non bornées.
Le dessin en perspective peut tromper. Des longueurs égales dans l’espace paraissent parfois différentes sur la page. Le contrôle doit porter sur la perpendicularité, le milieu du segment reliant deux points images et l’invariance de la description mathématique.
Pour aller plus loin
La symétrie orthogonale précise la transformation dont un plan de symétrie doit laisser la figure invariante.
L’axe de symétrie prolonge l’étude vers les rotations qui conservent une figure autour d’une droite.
La notion de transformation géométrique replace réflexions, rotations et compositions dans un cadre commun.
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