transformation géométrique

Dessinez un triangle sur un calque, puis faites pivoter le calque d'un quart de tour. Chaque point de départ possède un unique point d'arrivée, et chaque point d'arrivée vient d'un unique point de départ. Le triangle change de place et de direction dans la feuille, mais ses longueurs et ses angles restent les mêmes.

Une transformation géométrique organise précisément cette correspondance. Selon la transformation choisie, certaines propriétés restent intactes : distances, angles, rapports de longueurs, parallélisme ou alignement.

Soit un ensemble géométrique appelé E. Une transformation géométrique de E est une bijection de E sur lui-même : tout point possède une image unique, et tout point de E est l'image d'un unique point. Si la transformation est notée f, on écrit $f:E\to Ef:E\backslash to\; E$ et on précise qu'elle est bijective. La bijectivité garantit une transformation inverse. La composition de deux transformations de E en donne une troisième ; avec cette composition, toutes les transformations de E forment un groupe.

Dans le plan affine, les translations, rotations, symétries axiales, homothéties, similitudes et transformations affines fournissent des familles courantes. Dans le plan projectif, on rencontre aussi les transformations homographiques, dites aussi projectives. Les transformations se classent utilement par leurs invariants, c'est-à-dire les propriétés qu'elles conservent. Les déplacements conservent les distances et les angles orientés. Les isométries conservent les distances et les angles. Les similitudes conservent les rapports de distances. Les transformations affines conservent le parallélisme. Les transformations homographiques conservent l'ensemble des droites projectives ; dans une carte affine, une droite peut être envoyée sur la droite à l'infini. Ces familles constituent des sous-groupes importants lorsque leurs applications sont bien des bijections du même espace.

D'autres familles élargissent cette classification. Dans le plan étendu, une inversion préserve globalement la famille formée par les droites et les cercles : une droite peut donc devenir un cercle. Dans l'espace étendu, les transformations de Möbius préservent globalement la famille formée par les plans et les sphères. Une propriété conservée renseigne sur la famille possible, mais ne suffit pas toujours à identifier une transformation particulière.

Dans un repère orthonormé d'origine O, on fait tourner un triangle d'un quart de tour dans le sens direct autour de O. Les sommets de départ sont A de coordonnées (1 ; 1), B de coordonnées (4 ; 1) et C de coordonnées (2 ; 3). L'angle de rotation vaut 90°. La figure associée rend visibles le triangle initial et son image dans le même repère.

1. Pour un point de coordonnées (x ; y), la rotation donne le point de coordonnées (−y ; x). La règle est $R(x,y)=(-y,x)R(x,y)=(-y,x)$.

2. En appliquant la règle à A, on obtient son image A′ de coordonnées (−1 ; 1).

3. Les mêmes substitutions donnent l'image B′ de coordonnées (−1 ; 4) et l'image C′ de coordonnées (−3 ; 2).

4. Le contrôle porte d'abord sur une distance de l'exemple. Le segment AB mesure 3 unités, car ses extrémités ont la même ordonnée. Le segment A′B′ mesure aussi 3 unités, car ses extrémités ont la même abscisse. Ce contrôle vérifie seulement la longueur AB. Pour deux points quelconques, la formule R transforme un écart (Δx ; Δy) en (−Δy ; Δx) : la somme des carrés des deux écarts, et donc la distance, reste inchangée. Enfin, $R^{-1}(x,y)=(y,-x)R^\{-1\}(x,y)=(y,-x)$ est définie sur tout le plan et, composée avec R dans l'un ou l'autre ordre, redonne le point de départ : la rotation est donc bijective.

Pour construire une figure image, on applique la même règle à chaque point utile. Dans l'exemple de la rotation du triangle, trois images de sommets suffisent, puis on relie A′, B′ et C′ dans le même ordre. Cette procédure convient aux transformations qui envoient les segments sur des segments, notamment aux transformations affines. Pour une autre transformation, chaque côté doit être transformé selon la règle donnée : une inversion peut, par exemple, transformer un segment en arc de cercle.

Pour reconnaître la famille d'une transformation, on teste ce qui reste inchangé. Si toutes les distances sont conservées, on cherche une isométrie. Si seuls les rapports de distances sont garantis, une similitude est l'alternative plus générale. Si le parallélisme demeure mais pas les rapports, une transformation affine est une possibilité à vérifier, notamment en contrôlant que l'application bijective envoie les droites sur des droites.

Pour simplifier une suite de constructions, on compose les transformations. Une rotation suivie d'une autre transformation devient une seule application composée. Le contrôle final consiste à vérifier que chaque point d'arrivée possède un seul antécédent ; sinon, l'application obtenue n'est pas une transformation géométrique au sens retenu ici.

Déplacement et isométrie. Tous deux conservent les distances, mais un déplacement conserve aussi les angles orientés. Une symétrie axiale conserve les longueurs tout en renversant l'orientation : c'est une isométrie, mais pas un déplacement.

Transformation affine et transformation homographique. Dans le modèle affine, une transformation affine bijective envoie deux droites parallèles sur deux droites parallèles. Dans le modèle projectif, les prolongements projectifs de ces droites se rencontrent en un point de la droite à l'infini ; une homographie peut envoyer ce point sur un point fini, si bien que leurs images affines peuvent alors se rencontrer.

Transformation géométrique et projection qui écrase la figure. Une transformation de l'espace sur lui-même est bijective. Une application qui envoie tous les points d'un plan sur une même droite fait coïncider plusieurs points distincts ; elle ne satisfait donc pas cette définition.

Rapport nul d'une homothétie. Avec un rapport égal à 0, tous les points sont envoyés sur le centre. Plusieurs points ont alors la même image : l'application n'est pas bijective et sort de la définition adoptée ici. Il faut parler d'application affine dégénérée, non de transformation géométrique du plan sur lui-même.

Transformation affine singulière. Une formule affine peut aplatir le plan sur une droite. Pour la partie linéaire représentée par une matrice A, le critère est $\det (A)\mathrm{\ne }0\backslash det(A)\backslash neq\; 0$. Si le déterminant vaut 0, l'application n'a pas d'inverse et ne compte pas parmi les transformations affines bijectives.

Centre d'une inversion. Une inversion ordinaire n'attribue pas d'image finie à son centre. Dire qu'elle conserve globalement les droites et les cercles suppose donc le plan étendu et la famille des droites et cercles généralisés. Dans le seul plan ordinaire, il faut exclure le centre et préciser qu'une droite peut devenir un cercle, ou inversement.

Invariant insuffisant. Constater que trois longueurs sont conservées ne détermine pas à lui seul la transformation sur tout le plan. Il faut vérifier la règle sur l'ensemble considéré, sa bijectivité et les propriétés annoncées, puis identifier la famille la plus précise compatible avec ces contrôles.

Des transformations géométriques en groupes montre comment la composition organise les transformations et fait apparaître des sous-groupes.

Le glossaire homothétie approfondit une transformation qui conserve les rapports de distances et illustre le rôle de son rapport.

L'article Les isométries du plan détaille la famille caractérisée par la conservation des distances.