GéométrieNotion · Glossaire
similitude plane
Une similitude plane est une bijection du plan euclidien orienté sur lui-même qui conserve les angles géométriques, les rapports de distances, et multiplie toutes les distances par un même réel strictement positif k appelé rapport de la similitude. Les similitudes planes se classent selon qu'elles conservent ou renversent l'orientation. Hors le cas des translations, une similitude directe est la composée commutative d'une rotation et d'une homothétie de même centre ; elle conserve les angles orientés. Une similitude indirecte transforme les angles orientés en leurs opposés. Si son rapport diffère de 1, elle est la composée commutative d'une réflexion et d'une homothétie dont le centre est situé sur l'axe de la réflexion. Si son rapport vaut 1, c'est une réflexion ou une réflexion glissée, composée d'une réflexion et d'une translation parallèle à son axe. L'ensemble des similitudes planes forme un groupe pour la composition. Les translations, rotations, réflexions et réflexions glissées sont des cas particuliers de similitudes. Dans le plan complexe, une similitude directe d'angle α et de rapport k s'écrit z' = az + b, où |a| = k et arg(a) = α ; une similitude indirecte de rapport k s'écrit z' = az̄ + b avec |a| = k. La notion se généralise à un espace vectoriel E sur un corps K muni d'une forme quadratique Q : un automorphisme f est une similitude de multiplicateur k si pour tout vecteur v de E on a Q(f(v)) = k · Q(v).
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître ce qu’une similitude conserve et ce qu’elle multiplie.
- Distinguer une similitude directe d’une similitude indirecte.
- Calculer l’image d’un triangle par z’ = 2iz et contrôler les longueurs.
- Lire le rapport et l’angle dans le coefficient complexe.
En clair
Imaginez un triangle dessiné sur une feuille. Une même transformation le fait pivoter et double toutes ses longueurs : sa forme ne change pas, mais sa taille et sa position peuvent changer. Les angles restent identiques et chaque distance est multipliée par le même nombre.
Cette transformation est une similitude plane. Elle peut conserver l’orientation du dessin, ou la renverser comme le ferait un miroir.
Définition
Une similitude plane est une bijection du plan euclidien orienté sur lui-même. Il existe un réel strictement positif, appelé rapport et noté k, tel que, pour tous points P et Q, . Elle conserve donc les angles géométriques et tous les rapports de distances.
Une similitude directe conserve les angles orientés. Hors le cas particulier des translations, elle s’écrit comme la composition commutative d’une rotation et d’une homothétie de même centre. Une similitude indirecte change les angles orientés en leurs opposés. Si son rapport diffère de 1, elle est la composition commutative d’une réflexion et d’une homothétie dont le centre appartient à l’axe de réflexion. Si son rapport vaut 1, c’est une réflexion ou une réflexion glissée, composée d’une réflexion et d’une translation parallèle à son axe. Les translations, rotations, réflexions et réflexions glissées sont des similitudes de rapport 1. Les similitudes forment un groupe pour la composition.
Dans le plan complexe, si z représente un point et z’ son image, une similitude directe s’écrit , avec et l’argument de a égal à l’angle α. Une similitude indirecte s’écrit , avec la même condition sur le module de a.
Un exemple, pas à pas
Dans le plan complexe, considérons la transformation directe définie par . Le triangle de départ a pour sommets O d’affixe 0, B d’affixe 2 et C d’affixe i. Ses côtés OB et OC mesurent respectivement 2 et 1.
1. Le point O reste fixe, car 2i × 0 = 0.
2. Le point B devient B’ d’affixe 4i, car 2i × 2 = 4i.
3. Le point C devient C’ d’affixe −2, car 2i × i = −2.
4. Le module de 2i vaut 2 et son argument vaut 90° : la transformation agrandit donc d’un facteur 2 et tourne de 90°.
2. Le point B devient B’ d’affixe 4i, car 2i × 2 = 4i.
3. Le point C devient C’ d’affixe −2, car 2i × i = −2.
4. Le module de 2i vaut 2 et son argument vaut 90° : la transformation agrandit donc d’un facteur 2 et tourne de 90°.
Le triangle image a donc OB’ = 4 et OC’ = 2. Le contrôle est refaisable sur le troisième côté : BC vaut √5, tandis que B’C’ vaut √20 = 2√5. Les trois longueurs sont bien doublées et l’angle droit en O est conservé. La figure matérialise ce même agrandissement accompagné d’un quart de tour.
En pratique
Pour construire une figure semblable à une autre, on choisit un rapport k, puis une rotation éventuelle. On contrôle le résultat en comparant plusieurs quotients de longueurs et un angle.
Si l’orientation doit rester la même, on utilise une similitude directe. Si la figure doit être retournée comme dans un miroir, une similitude indirecte est nécessaire.
Dans le plan complexe, le coefficient a donne immédiatement le facteur d’échelle par son module. Pour une similitude directe, son argument donne aussi l’angle de rotation.
À ne pas confondre
Une homothétie n’est qu’un cas particulier de similitude. Elle agrandit ou réduit depuis un centre sans ajouter de rotation ; le triangle de l’exemple, lui, subit aussi un quart de tour.
Une isométrie conserve toutes les distances et correspond seulement au cas k = 1. Dès que k = 2, comme dans l’exemple, les angles sont conservés mais toutes les longueurs doublent.
Une réflexion renverse l’orientation et conserve les distances. Une similitude indirecte peut en plus changer l’échelle : le test consiste à vérifier l’orientation, puis le rapport commun des longueurs.
Limites et pièges
Le rapport k doit être strictement positif. Avec k = 0, tous les points auraient la même image : la transformation ne serait plus bijective et ne serait donc pas une similitude.
La description d’une similitude directe par une rotation et une homothétie de même centre demande une exception : une translation non nulle n’a pas de point fixe commun. Elle reste pourtant une similitude directe de rapport 1.
Conserver les angles géométriques ne suffit pas à déterminer l’orientation. Il faut examiner un angle orienté : une similitude directe le conserve, tandis qu’une similitude indirecte le transforme en son opposé.
Dans un espace vectoriel E sur un corps K muni d’une forme quadratique Q, le mot similitude porte sur un automorphisme f. Son multiplicateur k vérifie pour tout vecteur v ; ce k est un multiplicateur de forme quadratique, pas automatiquement le rapport de distances du plan.
Pour aller plus loin
homothétie — Pour isoler l’effet du changement d’échelle autour d’un centre.
Réflexion — Pour approfondir la transformation qui renverse l’orientation dans le cas indirect.
plan complexe — Pour relier les points du plan aux écritures z’ = az + b.
Des transformations géométriques en groupes — Pour situer la composition des similitudes dans une structure de groupe.
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