GéométrieNotion · Glossaire
similitude affine
Dans un espace affine associé à un espace vectoriel euclidien orienté, une similitude affine est une application affine dont la partie linéaire est une similitude vectorielle. Elle préserve les rapports de longueurs et les angles, tandis que sa translation ne modifie pas ces rapports. Pour une similitude directe, le facteur de longueur est strictement positif. Dans une décomposition choisie en rotation et homothétie, le rapport signé k de l'homothétie peut être négatif : son signe ajoute alors un demi-tour à l'angle, tandis que |k| donne le facteur de longueur.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir le cadre affine et euclidien de la notion.
- Construire l'image d'un point avec k = −2 et α = π/2.
- Distinguer rapport signé, facteur de longueur et cas dégénéré.
En clair
Imaginez une figure dessinée sur une feuille. Une similitude affine la déplace, la tourne et change uniformément sa taille : les angles sont conservés et toutes les longueurs sont multipliées par le même facteur. Dans l'exemple conducteur, le centre est C, le rapport vaut −2 et l'angle vaut π/2. Le signe négatif ajoute un demi-tour : le point tourne donc de 3π/2, puis sa distance au centre est doublée.
La figure obtenue garde la même forme, mais son orientation peut changer selon la partie linéaire. Cette transformation combine une action sur les vecteurs, qui règle les directions et les longueurs, avec une translation, qui place le centre au bon endroit.
Définition
Une application affine est une transformation d'un espace affine qui s'écrit comme une application linéaire suivie d'une translation. Elle est une similitude affine lorsque sa partie linéaire est une similitude vectorielle de l'espace euclidien orienté associé : il existe un facteur d'échelle strictement positif qui multiplie toutes les longueurs, tandis que les angles sont conservés ou changés selon le type de similitude vectorielle. La translation ne modifie pas ces rapports.
Pour une similitude affine directe, la décomposition indiquée par la source utilise une rotation d'angle α et une homothétie de rapport k. Lorsque la rotation et l'homothétie ont le même centre, elles commutent ; ce n'est pas vrai en général pour des centres distincts. Si k est strictement positif, elles peuvent être décrites avec un même centre. Si k est strictement négatif, le rapport géométrique devient |k| et l'angle est augmenté de π ; cette écriture rend le changement de demi-plan explicite.
Dans le plan, le facteur de longueur est donc |k| lorsque le rapport signé de l'homothétie est k. Le cas k = 0 ne définit pas une similitude, car la partie linéaire n'est alors pas inversible et toutes les longueurs sont écrasées.
Un exemple, pas à pas
On considère le point C de coordonnées (1, 1), qui sera le centre commun, et le point P de coordonnées (2, 1). Le rapport signé de l'homothétie est k = −2 et l'angle de rotation est α = π/2. Le vecteur CP vaut (1, 0).
Comme le rapport est négatif, l'angle équivalent autour du même centre est α + π = 3π/2. La rotation envoie le vecteur (1, 0) sur (0, −1).
L'homothétie de rapport |k| = 2 double ensuite ce vecteur : (0, −1) devient (0, −2). En le reportant depuis C, on obtient le point P' de coordonnées (1, −1).
Le contrôle est direct : CP = 1 et CP' = 2, donc la distance au centre a bien été multipliée par |k| = 2. Le point P' se trouve sous C, conformément à une rotation de 3π/2.
En pratique
Pour construire l'image d'une figure, on repère d'abord le centre commun et l'effet sur un vecteur. On applique la rotation, puis l'homothétie ; avec un rapport négatif, on remplace le signe par un demi-tour supplémentaire et on utilise |k| pour la longueur.
En géométrie plane, cette transformation sert à comparer deux figures de même forme. Le critère observable est le rapport constant entre les longueurs correspondantes et la conservation des angles ; une simple translation ne change, elle, aucune longueur.
Pour vérifier une construction, on choisit un point, on calcule son vecteur au centre, puis on contrôle séparément sa direction après rotation et sa longueur après homothétie. Cette vérification évite de confondre le rapport signé avec le facteur de longueur.
À ne pas confondre
Une similitude affine ne se confond pas avec une translation. Une translation conserve chaque longueur, alors qu'une similitude de rapport géométrique |k| différent de 1 les multiplie toutes par |k|. Dans l'exemple, CP passe de 1 à 2 : il s'agit donc d'une similitude et non d'une translation.
Elle ne se confond pas non plus avec une homothétie seule lorsque l'angle α n'est pas nul modulo 2π. Une homothétie de rapport positif garde chaque direction issue du centre ; avec un rapport négatif, elle l'inverse. La similitude de l'exemple envoie le vecteur horizontal CP vers une direction verticale avant son changement d'échelle.
Limites et pièges
Le signe du rapport est un point charnière. Si k > 0, le facteur de longueur est k et l'angle reste α. Si k < 0, le facteur de longueur est |k| et l'angle équivalent devient α + π ; oublier ce demi-tour place l'image dans la mauvaise direction. Pour k = −2, il faut donc utiliser 2 pour la longueur et 3π/2 pour l'angle lorsque α = π/2.
Le cas k = 0 est dégénéré : tous les points sont envoyés au centre de l'homothétie, la partie linéaire n'est plus inversible et les longueurs ne sont plus multipliées par un facteur non nul. Il faut alors parler d'application constante, pas de similitude.
La formule dépend aussi du cadre annoncé. La notion utilise un espace affine et un espace vectoriel euclidien orienté ; sans produit scalaire, il n'y a pas de longueurs ni d'angles à préserver, et sans orientation la qualification directe n'est pas définie de la même manière.
Pour aller plus loin
La similitude affine se prolonge naturellement par l'étude de sa partie linéaire et de sa translation. Cette séparation permet de comprendre quelles propriétés viennent de la géométrie vectorielle — longueurs, angles et orientation — et lesquelles viennent seulement du placement dans l'espace affine.
Le glossaire de l'application affine fournit un point d'appui pour replacer cette transformation dans la famille plus large des applications affines. On peut ensuite comparer précisément la partie linéaire, la translation et les transformations qui conservent ou modifient la métrique.
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