similitude vectorielle

Imaginez une flèche partant de l’origine. On la fait pivoter d’un quart de tour, puis on double sa longueur : sa direction change, mais sa forme et les angles avec les autres flèches sont conservés. Cette transformation est une similitude vectorielle. Dans notre exemple, la flèche de coordonnées (3, 4) devient d’abord (−4, 3), puis (−8, 6). Sa longueur passe de 5 à 10. Toutes les longueurs sont multipliées par le même rapport 2, et l’origine reste fixe.

Dans un espace vectoriel euclidien, une similitude vectorielle est un automorphisme qui multiplie toutes les normes par un même nombre strictement positif, appelé rapport. Elle fixe donc le vecteur nul. Si ce rapport est noté r, la transformation s’écrit comme une homothétie de rapport r composée avec une transformation orthogonale, laquelle conserve les normes. Lorsque l’espace euclidien est orienté et de dimension finie, la similitude est dite directe si elle préserve l’orientation et indirecte si elle la renverse.

Dans le plan euclidien orienté, le facteur orthogonal est une rotation dans le cas direct et peut être présenté à l’aide d’une symétrie dans le cas indirect. Pour l’exemple conducteur, la rotation d’un quart de tour suivie de l’homothétie de rapport 2 est représentée, dans la base orthonormée usuelle, par la matrice suivante :Elle envoie le vecteur de coordonnées (x, y) sur celui de coordonnées (−2y, 2x).

Plus généralement, sur un corps K, on considère un espace muni d’une forme quadratique Q. Un automorphisme f est une similitude de multiplicateur k lorsque la relation suivante vaut pour tout vecteur v :Si Q n’est pas identiquement nulle, l’automorphisme impose k ≠ 0. Dans le cas euclidien, où Q(v) est le carré de la norme, le multiplicateur vaut k = r². La composée de deux similitudes a pour multiplicateur le produit des multiplicateurs ; l’inverse a pour multiplicateur 1/k. Elles forment ainsi un groupe, que leurs matrices dans une base orthonormée représentent fidèlement.

On travaille dans le plan muni de la base orthonormée usuelle. Les données sont les suivantes :
• le vecteur v a pour coordonnées (3, 4) ;
• la rotation est un quart de tour dans le sens direct ;
• l’homothétie a pour rapport 2 ;
• la forme quadratique est Q(x, y) = x² + y².

1. La rotation transforme (3, 4) en (−4, 3).

2. L’homothétie double les deux coordonnées : le vecteur obtenu est f(v) = (−8, 6).

3. La norme initiale vaut $\sqrt{3^2+4^2}=5\backslash sqrt\{3^2+4^2\}=5$. La norme finale vaut $\sqrt{(-8{)}^2+6^2}=10\backslash sqrt\{(-8)^2+6^2\}=10$. Le rapport est donc 10/5 = 2.

4. Le contrôle par la forme quadratique donne Q(v) = 25 et Q(f(v)) = 100. Ainsi, Q(f(v))/Q(v) = 4 : le multiplicateur est bien k = 4 = 2².

Le même contrôle peut être refait avec n’importe quel vecteur non nul : le quotient des normes doit rester 2 et celui des valeurs de Q doit rester 4.

Pour reconnaître une similitude vectorielle donnée par une matrice, on teste l’effet sur les normes ou sur la forme quadratique. Si le même facteur apparaît pour tous les vecteurs, le test est concluant. Si le facteur dépend de la direction, il faut parler d’une autre transformation linéaire.

Pour calculer une image dans le plan, on peut séparer le geste en deux opérations : appliquer la rotation ou la symétrie, puis l’homothétie. Une multiplication matricielle directe est préférable lorsque les coordonnées sont déjà données ; la décomposition géométrique est préférable lorsque l’on veut lire l’angle, le rapport ou l’orientation.

Pour contrôler une composition, on multiplie les rapports de longueur et les multiplicateurs. Dans l’exemple, composer deux fois la transformation donne un rapport 4 et un multiplicateur 16. Si seule la conservation exacte des longueurs est recherchée, une transformation orthogonale suffit : son rapport vaut 1.

Similitude vectorielle et similitude affine. La première est linéaire et fixe nécessairement l’origine. Une transformation qui conserve les formes à un même rapport mais déplace l’origine, par exemple une rotation autour d’un autre point, est une similitude affine.

Similitude vectorielle et homothétie. Une homothétie de rapport positif multiplie chaque vecteur par un même scalaire sans lui ajouter ni rotation ni symétrie ; avec un rapport négatif, elle inverse les directions, comme une symétrie centrale. Dans l’exemple, (3, 4) devient (−8, 6), et non (6, 8) : la transformation n’est donc pas la seule homothétie de rapport 2.

Matrice d’une similitude et matrices semblables. La première représente une transformation qui multiplie la forme quadratique par un facteur fixe. Deux matrices semblables, au sens du changement de base, vérifient plutôt une relation de conjugaison et ne sont pas nécessairement des similitudes vectorielles.

Rapport nul. Multiplier tous les vecteurs par 0 conserve certes une proportion triviale, mais l’application obtenue n’est pas un automorphisme. Elle n’est donc pas une similitude vectorielle. Dans le cadre euclidien, le rapport doit être strictement positif.

Rapport et multiplicateur. Le multiplicateur porte sur la forme quadratique, donc sur le carré de la norme. Un rapport de longueur 2 donne k = 4, et non k = 2. Il faut comparer Q(f(v)) à Q(v), pas seulement les coordonnées d’un vecteur particulier.

Forme quadratique non euclidienne. Sur un corps quelconque ou pour une forme non définie positive, le multiplicateur ne s’interprète pas toujours comme le carré d’un rapport de longueurs. Par exemple, pour Q(x, y) = x² − y², l’échange de x et y donne le multiplicateur −1. Il faut alors travailler avec Q elle-même, sans invoquer une distance euclidienne.

Rotation en dimension supérieure. Dans le plan, le facteur orthogonal direct est décrit par un seul angle. En dimension supérieure, il peut combiner des rotations dans plusieurs plans orthogonaux et laisser certaines directions fixes. Il faut préciser la dimension et la convention adoptée avant de chercher un angle unique.

La fiche rotation vectorielle précise le facteur qui change les directions tout en conservant les normes et l’orientation.

La fiche homothétie isole le changement d’échelle qui fournit le rapport de la similitude.

La fiche signature d’une forme quadratique aide à distinguer le cadre euclidien positif des formes quadratiques de signes différents.