groupe des similitudes

Imaginez un triangle dessiné sur une feuille. Vous pouvez le déplacer, le tourner, le retourner ou l'agrandir : si toutes ses longueurs sont multipliées par le même nombre, sa forme reste semblable. Chacune de ces transformations est une similitude.

Ces gestes peuvent s'enchaîner sans sortir de la famille. Ils peuvent aussi être défaits par une autre similitude. C'est précisément ce que résume l'expression « groupe des similitudes » : une famille de transformations fermée pour l'enchaînement et l'opération inverse.

Dans un espace affine euclidien, une similitude est une application qui conserve les rapports de longueurs. Il existe un nombre strictement positif, appelé rapport et noté k, tel que, pour tous points M et N, la distance entre leurs images vaut k fois la distance initiale : $d(f(M),f(N))=kd(M,N),k>0d(f(M),f(N))=k\backslash ,d(M,N),\backslash qquad\; k>0$. Le rapport ne dépend pas des points choisis. Une similitude de rapport 1 est une isométrie ; une translation en est un exemple, mais les rotations et les réflexions en fournissent aussi.

La composée d'une similitude de rapport k avec une similitude de rapport ℓ est une similitude de rapport kℓ. L'application identité a pour rapport 1. Toute similitude est bijective, et son application inverse a pour rapport 1/k. La composition est associative, comme toute composition d'applications. Ces quatre faits donnent une structure de groupe à l'ensemble des similitudes. Les similitudes directes, qui préservent l'orientation, forment elles-mêmes un sous-groupe ; les similitudes indirectes renversent l'orientation.

Dans le plan identifié aux nombres complexes, toute similitude directe s'écrit $f(z)=az+b,a\mathrm{\ne }0f(z)=az+b,\backslash qquad\; a\backslash neq0$. Son rapport est le module |a|, et l'argument de a donne l'angle de rotation. Une similitude indirecte fait intervenir le conjugué de z. Dans un espace vectoriel euclidien, le terme de translation disparaît : une similitude vectorielle est une application linéaire qui multiplie toutes les normes par un même rapport positif.

Une similitude affine réunit cinq données liées. L'espace euclidien fournit les distances. L'application associe à chaque point son image. Le rapport positif k fixe l'unique facteur appliqué à toutes les longueurs. Une transformation orthogonale R porte la rotation ou la réflexion. Enfin, un vecteur t place l'image dans l'espace. Après le choix d'une origine, cette décomposition s'écrit : $f(x)=kR(x)+tf(x)=kR(x)+t$.

Le rapport et la partie orthogonale déterminent ensemble la forme et l'échelle de l'image ; le vecteur de translation n'en change que la position. Le signe du déterminant de R indique si l'orientation est préservée ou renversée. La couleur, l'épaisseur du tracé et la taille d'affichage ne font pas partie de la définition. Ces données suffisent à construire l'image de tout point et à calculer le rapport, l'orientation, une composée ou une inverse. Pour une similitude vectorielle, t est nul et l'origine reste fixe.

Dans le plan complexe, on part du triangle dont les sommets ont pour affixes A = 0, B = 1 et C = i. On applique la transformation S définie par $S(z)=2iz+1S(z)=2iz+1$. Les données sont donc le coefficient a = 2i, le terme de translation b = 1 et les trois affixes initiales.

1. Le module du coefficient a vaut 2 : le rapport de S est donc 2. Son argument vaut un angle droit : avant la translation, la figure tourne de 90° dans le sens direct.

2. Les images des sommets sont $S(0)=1,S(1)=1+2i,S(i)=-1S(0)=1,\backslash qquad\; S(1)=1+2i,\backslash qquad\; S(i)=-1$. Ainsi, A′ a pour coordonnées (1 ; 0), B′ (1 ; 2) et C′ (−1 ; 0).

3. Le côté AB mesure 1 et son image A′B′ mesure 2. Le côté AC mesure aussi 1 et son image A′C′ mesure 2. Enfin, BC mesure √2 et B′C′ mesure 2√2. Toutes les longueurs sont bien doublées.

4. Pour défaire S, on résout w = 2iz + 1. L'inverse est $S^{-1}(w)=\frac{w-1}{2i}S^\{-1\}(w)=\backslash frac\{w-1\}\{2i\}$, de rapport 1/2. Le contrôle est refaisable : remplacer w par 2iz + 1 redonne exactement z. La transformation et son inverse appartiennent donc au même groupe.

En géométrie, une similitude sert à transférer une figure vers une figure semblable. On vérifie le même rapport sur plusieurs longueurs correspondantes ; si les rapports diffèrent, une transformation affine plus générale est nécessaire.

Dans le plan complexe, l'écriture z ↦ az + b rassemble agrandissement, rotation et translation en un calcul. Le module de a fournit le rapport, son argument fournit l'angle, et b déplace l'ensemble. Si l'orientation est renversée, il faut employer une écriture avec le conjugué de z.

Pour enchaîner deux similitudes, on compose leurs applications dans l'ordre réellement effectué. Les rapports se multiplient. Pour annuler une transformation, on utilise son inverse : le rapport devient réciproque, la rotation et le déplacement sont compensés dans l'ordre inverse.

Similitude et isométrie. Une isométrie conserve exactement chaque distance ; une similitude les multiplie toutes par un même rapport positif. S(z) = 2iz + 1 est une similitude, mais pas une isométrie, car son rapport vaut 2 et non 1.

Similitude et transformation affine. Une transformation affine conserve l'alignement et les rapports sur une même droite, sans nécessairement conserver les angles ni un facteur de longueur unique. Un étirement horizontal de facteur 2 et vertical de facteur 1 est affine, mais ce n'est pas une similitude.

Similitude et homothétie. Une homothétie a un centre et multiplie les vecteurs issus de ce centre par un nombre réel. Une similitude peut en plus comporter une rotation ou une réflexion. La transformation S tourne d'un angle droit : elle n'est donc pas une homothétie.

Le rapport ne peut pas être nul. Au seuil k = 0, tous les points auraient la même image. L'application ne serait plus bijective et n'aurait pas d'inverse. Il faut donc exiger k > 0 pour appartenir au groupe des similitudes.

Rapport 1 ne signifie pas translation. Une rotation ou une réflexion a également le rapport 1. Le symptôme est une distance inchangée malgré une orientation ou une direction modifiée ; il faut alors identifier la partie orthogonale, pas conclure à une translation.

Directe ne signifie pas angle nul. Une similitude directe préserve l'orientation, mais elle peut tourner la figure. Dans S(z) = 2iz + 1, l'ordre des sommets reste orienté de la même façon malgré la rotation de 90°. Il faut tester l'orientation, pas l'immobilité des directions.

L'ordre de composition compte. Les similitudes forment en général un groupe non commutatif : une translation suivie d'une rotation ne donne pas toujours le même déplacement que l'ordre inverse. Il faut écrire la composée dans l'ordre des actions et recalculer son terme de translation.

La similitude vectorielle isole la partie linéaire : elle permet d'étudier le facteur d'échelle et la transformation orthogonale sans translation.

L'homothétie approfondit un cas centré sans rotation ni réflexion et aide à reconnaître ce que la similitude ajoute à un simple changement d'échelle.

La transformation géométrique replace les similitudes parmi les applications du plan et précise quelles propriétés distinguent les grandes familles de transformations.