GéométrieNotion · Glossaire
isométrie affine
Dans un espace affine euclidien de dimension finie, une isométrie affine est une application affine de cet espace dans lui-même qui conserve les distances entre points. Formellement, une application affine f est une isométrie affine si, pour tous points P et Q de l'espace, d(f(P), f(Q)) = d(P, Q). Les isométries affines forment un groupe pour la composition. Dans le plan euclidien, les isométries affines sont les translations, les rotations, les réflexions (symétries axiales) et les réflexions avec glissement. En dimension trois, s'ajoutent notamment les rotations d'axe, les symétries planes et les vissages. Dans ce cadre, une isométrie affine est nécessairement une application bijective et sa réciproque est également une isométrie.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier la conservation de toutes les distances comme critère décisif.
- Vérifier ce critère sur une réflexion avec un calcul de distance reproductible.
- Distinguer les principales isométries du plan et les cas propres à la dimension trois.
- Séparer isométrie affine, isométrie vectorielle et homothétie.
En clair
Imaginez une figure dessinée sur un calque. Vous pouvez la faire glisser, la tourner ou la retourner, puis la poser ailleurs sans l'étirer ni l'écraser. La distance entre deux points quelconques du dessin reste alors la même.
Un tel déplacement est une isométrie affine. La figure peut changer de position et parfois d'orientation, mais ni ses longueurs ni sa forme ne changent.
Définition
Une isométrie affine agit sur les points d'un espace affine euclidien de dimension finie. Notons f cette application affine, et P et Q deux points quelconques. Elle doit conserver leur distance : . Cette condition vaut pour toute paire de points, et non pour quelques segments seulement. Dans ce cadre, elle entraîne que l'application est bijective ; chaque point image possède donc un unique antécédent. L'application réciproque conserve elle aussi les distances.
Dans le plan euclidien, les possibilités sont les translations, les rotations, les réflexions — aussi appelées symétries axiales — et les réflexions avec glissement. En dimension trois figurent notamment les rotations autour d'un axe, les symétries par rapport à un plan et les vissages. La composée de deux isométries affines est encore une isométrie affine. Avec l'identité et les applications réciproques, cette stabilité explique pourquoi ces transformations forment un groupe pour la composition.
Un exemple, pas à pas
Considérons la réflexion par rapport à l'axe vertical dans un plan repéré. Les données sont les points P de coordonnées (1, 1) et Q de coordonnées (4, 5), ainsi que l'application f définie par . La figure matérialise les deux segments dont nous allons comparer les longueurs.
1. La réflexion donne f(P) = (−1, 1) et f(Q) = (−4, 5). Seule la première coordonnée change de signe.
2. Entre P et Q, l'écart horizontal vaut 4 − 1 = 3 et l'écart vertical vaut 5 − 1 = 4. Le théorème de Pythagore donne .
3. Entre f(P) et f(Q), les écarts valent −4 − (−1) = −3 et 5 − 1 = 4. Ainsi, .
4. Les deux distances valent 5 unités. Le contrôle est refaisable en comparant les carrés : 32 + 42 = (−3)2 + 42 = 25. La réflexion conserve donc bien la distance pour cette paire de points.
En pratique
Pour déplacer une figure sans modifier ses mesures, on cherche une translation, une rotation ou une réflexion. Si tous les points avancent du même déplacement, la translation est le modèle adapté ; si un point reste fixe pendant que la figure tourne, on choisit une rotation.
Pour vérifier une transformation proposée, on choisit plusieurs paires de points et on compare chaque distance avant et après. Une seule longueur modifiée suffit à écarter l'isométrie ; quelques égalités isolées ne suffisent pas à la prouver.
Pour reconnaître une réflexion, on vérifie que, pour tout point hors de l'axe, celui-ci est la médiatrice du segment reliant le point à son image : il passe par le milieu du segment et lui est perpendiculaire. Les points situés sur l'axe restent fixes, tandis que les autres points et leurs images sont de part et d'autre de l'axe. Si la transformation associe cette réflexion à un glissement le long de l'axe, il s'agit plutôt d'une réflexion avec glissement.
À ne pas confondre
Isométrie affine et isométrie vectorielle. Une isométrie vectorielle fixe l'origine du repère, tandis qu'une isométrie affine peut la déplacer. Une translation non nulle est donc affine, mais elle n'est pas une application vectorielle.
Isométrie et homothétie. Une homothétie peut conserver la forme tout en multipliant toutes les longueurs par un même facteur. Si ce facteur vaut 2, un segment de longueur 5 devient long de 10 : la transformation n'est pas une isométrie.
Réflexion et rotation. La réflexion retourne la figure par rapport à un axe, alors qu'une rotation la fait tourner autour d'un point. Dans l'exemple, P et son image sont de part et d'autre de l'axe : ce test désigne une réflexion.
Limites et pièges
Vérifier une seule paire ne suffit pas. Dans l'exemple, l'égalité 5 = 5 confirme seulement la paire choisie. Pour établir qu'une application est une isométrie, l'égalité des distances doit valoir pour tous les points P et Q.
Une ressemblance visuelle peut tromper. Une figure agrandie garde ses angles et son allure, mais ses distances changent. Il faut comparer des longueurs, et non se fier à la seule forme générale.
L'ordre d'une composition compte. Composer une translation puis une rotation ne place généralement pas les points comme la composition inverse. Chaque résultat reste une isométrie, mais ce ne sont pas nécessairement les mêmes applications.
Le classement dépend de la dimension. La liste du plan ne suffit pas en dimension trois. Il faut alors envisager aussi les rotations d'axe, les symétries planes et les vissages.
Pour aller plus loin
translation — Pour approfondir l'isométrie du plan dans laquelle tous les points subissent le même déplacement.
Réflexion — Pour détailler la transformation qui place un point et son image de part et d'autre d'un axe.
Des transformations géométriques en groupes — Pour relier la composition des transformations à la structure de groupe évoquée dans la définition.
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