groupe de déplacements

Imaginez un calque que l'on fait glisser ou tourner sur une table. Les longueurs et les angles du dessin ne changent pas. De plus, une flèche tracée dans le sens antihoraire reste antihoraire : le mouvement ne retourne pas le calque comme le ferait un miroir.

Un tel mouvement est un déplacement. On peut en effectuer plusieurs à la suite, annuler le dernier en faisant le mouvement inverse, ou ne rien bouger du tout. Ces trois gestes expliquent pourquoi tous les déplacements forment un groupe.

Dans un espace affine euclidien orienté E, une isométrie est une bijection de E sur lui-même qui conserve les distances. Elle s'écrit comme une transformation affine dont la partie linéaire est orthogonale. Si cette partie linéaire est notée A et le vecteur de translation b, l'écriture générale est $f(x)=Ax+bf(x)=Ax+b$. L'isométrie est dite directe, ou déplacement, lorsque $\det (A)=+1\backslash det(A)=+1$ : elle préserve l'orientation.

La loi du groupe est la composition des applications. L'identité joue le rôle d'élément neutre. La composée de deux déplacements est directe, et la réciproque d'un déplacement est encore directe. Dans le plan, tout déplacement est une translation ou une rotation, l'identité pouvant être regardée comme un cas dégénéré de chacune. Dans l'espace à trois dimensions, tout déplacement est une translation, une rotation ou un vissage, qui associe une rotation autour d'un axe à une translation parallèle à cet axe.

Le signe du déterminant sépare les isométries directes, de signe +1, des isométries indirectes, de signe −1. Le groupe des déplacements est ainsi le noyau de ce signe : il est distingué dans le groupe de toutes les isométries. Dès que l'espace euclidien est de dimension au moins 1, il existe aussi des isométries indirectes ; le sous-groupe des déplacements est alors d'indice 2.

La structure repose sur cinq éléments liés. L'espace E fournit les points, les distances et une orientation. Les éléments du groupe sont toutes les isométries directes de E. La composition enchaîne deux transformations, celle de droite agissant la première. L'identité laisse chaque point fixe. Enfin, l'inverse de chaque déplacement défait exactement son action.

La distance impose la partie orthogonale de chaque transformation, tandis que l'orientation sélectionne celles dont le déterminant vaut +1. La composition détermine ensuite la loi de groupe ; elle dépend de l'ordre des transformations et n'est généralement pas commutative. Ces données suffisent à composer des mouvements, retrouver leur inverse et décider s'ils appartiennent au groupe des déplacements.

Dans le plan muni d'un repère orthonormé orienté, prenons une translation t, puis une rotation r d'un quart de tour dans le sens antihoraire autour de l'origine. Nous allons déterminer leur composée g, définie par g = r ∘ t. Le schéma matérialise le quart de tour obtenu et son centre.

Données.
Translation : $t(x,y)=(x+3,y+1)t(x,y)=(x+3,y+1)$.
Rotation : $r(x,y)=(-y,x)r(x,y)=(-y,x)$.
Point de contrôle : A = (0, 0).
Convention : dans r ∘ t, la transformation t agit la première.

Étape 1. Appliquons t à un point de coordonnées (x, y), puis appliquons r au résultat.

Étape 2. Cherchons le point fixe C de g. Les équations x = −y − 1 et y = x + 3 donnent C = (−2, 1). La partie linéaire de g est celle du quart de tour r : g est donc la rotation d'un quart de tour autour de C. La composée de nos deux déplacements est bien un déplacement.

Contrôle. La translation envoie A sur (3, 1), puis r envoie (3, 1) sur D = (−1, 3). Depuis C, les vecteurs vers A et D ont pour coordonnées (2, −1) et (1, 2) : le second est bien le quart de tour antihoraire du premier.

Pour classer une isométrie affine du plan déjà établie, on suit trois points non alignés. Si leur orientation ne s'inverse pas, le mouvement est un déplacement ; si l'orientation s'inverse, il faut chercher une symétrie ou une symétrie glissée.

Pour enchaîner des mouvements, on écrit leur composition dans l'ordre et on calcule d'abord la transformation placée à droite. On préfère une matrice et un vecteur de translation lorsqu'il faut répéter ou inverser le calcul.

Pour repérer la nature de la composée dans le plan, on cherche ses points fixes. Sans point fixe, un déplacement non trivial est une translation. Avec un point fixe, c'est une rotation autour de ce point ; l'identité reste le cas où tous les points sont fixes.

Déplacement et isométrie quelconque. Toute isométrie conserve les distances, mais un déplacement conserve aussi l'orientation. Une réflexion dans une droite est donc une isométrie du plan, pas un déplacement.

Déplacement et translation. Une translation est un type de déplacement, non un synonyme. Un quart de tour autour d'un point est un déplacement, mais il n'envoie pas tous les points selon le même vecteur et n'est donc pas une translation.

Rotation affine et rotation vectorielle. Une rotation du plan affine peut avoir n'importe quel centre. Une rotation vectorielle fixe nécessairement l'origine de l'espace vectoriel ; dans l'exemple, la composée fixe C = (−2, 1), pas l'origine.

L'ordre de composition compte. Dans r ∘ t, la translation agit avant la rotation. Inverser l'ordre donne t ∘ r et, en général, une autre transformation. Il faut donc toujours expliciter la convention avant un calcul.

L'identité brouille les étiquettes. Elle peut être vue comme une translation de vecteur nul ou comme une rotation d'angle nul. Ce chevauchement n'est pas une contradiction : l'identité est l'unique cas où tous les points restent fixes.

Les vissages comprennent des cas dégénérés. En dimension 3, une translation parallèle à l'axe avec angle nul redonne une translation ; un pas nul redonne une rotation. Il faut lire séparément l'angle de rotation et la translation axiale.

L'indice 2 suppose une dimension positive. Pour un espace réduit à un seul point, il n'existe aucune isométrie indirecte et le groupe des déplacements coïncide avec le groupe des isométries. L'énoncé d'indice 2 s'applique donc aux espaces euclidiens de dimension au moins 1.

La fiche translation détaille le déplacement dont tous les points suivent un même vecteur, cas essentiel pour reconnaître les mouvements sans point fixe dans le plan.

L'article Le programme d'Erlangen montre comment l'étude d'une géométrie s'organise autour d'un groupe de transformations et de ses invariants.