Vissage

Imaginez un objet qui tourne autour d'une tige tout en glissant le long de cette tige. Un quart de tour peut ainsi s'accompagner d'une montée de 3 cm. Ce double mouvement est un vissage.

L'axe donne à la fois le centre de la rotation et la direction de la translation. Chaque point de l'objet conserve ses distances aux autres points : l'objet change de position, mais ne se déforme pas. Hors de l'axe, un point suit une hélice ; sur l'axe, il se déplace en ligne droite.

Dans l'espace euclidien à trois dimensions, un vissage est la composée d'une rotation autour d'une droite et d'une translation parallèle à cette même droite. Cette droite est l'axe du vissage. Les deux transformations commutent : les effectuer dans l'ordre inverse donne le même résultat. Leur composée conserve les distances et l'orientation ; c'est donc une isométrie directe, aussi appelée déplacement rigide direct.

Notons θ l'angle orienté de la rotation, exprimé en radians, et t la translation algébrique mesurée le long d'un sens choisi sur l'axe. Lorsque θ n'est pas nul, le pas réduit h est le rapport de t à θ : $h=\frac{t}{\theta }h=\backslash frac\{t\}\{\backslash theta\}$. Avec cette convention, h s'exprime en unité de longueur par radian. La translation obtenue en un tour complet vaut 2πh. Certaines sources appellent plutôt cette dernière longueur le « pas » ; annoncer la convention évite l'ambiguïté. Inverser l'orientation choisie change simultanément les signes utiles, sans changer le déplacement géométrique.

Le théorème de Chasles sur les déplacements de l'espace affirme que toute isométrie directe de l'espace euclidien se représente par un vissage, en incluant ses cas dégénérés. Une rotation pure correspond à t = 0. Une translation pure correspond à un angle nul ; le quotient t/θ n'est alors pas défini. L'identité s'obtient lorsque rotation et translation sont toutes deux nulles.

Considérons un vissage autour d'un axe vertical. Un point se trouve initialement à 4 cm de l'axe. La transformation lui fait effectuer un quart de tour dans le sens choisi et le translate de 3 cm vers le haut.

Données :
distance à l'axe : 4 cm ;
angle orienté : θ = 90° = π/2 radians ;
translation axiale : t = 3 cm.

1. La rotation déplace le point d'un quart de cercle, sans modifier sa distance de 4 cm à l'axe.
2. La translation élève ensuite le point de 3 cm, dans la direction de l'axe.
3. Le pas réduit se calcule par le rapport entre la translation et l'angle.

Le résultat est donc exactement 6/π cm par radian, soit environ 1,91 cm par radian. Le contrôle par un tour complet donne 2π × 6/π = 12 cm : quatre quarts de tour produisent bien 4 × 3 = 12 cm de translation. Le schéma associé sépare la rotation vue dans un plan perpendiculaire à l'axe et la montée mesurée le long de l'axe.

Pour décrire le mouvement d'une vis idéale dans un écrou, on repère l'axe, le sens de rotation et l'avancée obtenue. Une translation seule convient seulement si l'objet ne tourne pas ; une rotation seule convient s'il n'avance pas le long de l'axe.

En cinématique d'un solide rigide, le vissage réunit en une description un déplacement qui combine rotation et glissement axial. Le critère observable est que la forme et toutes les distances internes du solide restent inchangées. Si le solide se déforme, un vissage unique ne décrit pas l'ensemble du mouvement.

Pour comparer deux vissages ayant la même convention, on examine l'angle, la translation algébrique et leur axe. Le pas réduit indique l'avancée par radian ; l'avancée par tour, égale à 2π fois ce pas, est souvent plus parlante pour un mécanisme périodique.

Une translation. Tous les points y subissent le même déplacement rectiligne, sans tourner autour d'un axe. Dans l'exemple conducteur, supprimer le quart de tour et conserver seulement la montée de 3 cm donne une translation, pas un vissage non dégénéré.

Une rotation. Les points tournent autour de l'axe, mais il n'y a aucun glissement le long de celui-ci. Dans l'exemple, conserver les 90° et remplacer la montée de 3 cm par 0 cm donne une rotation pure.

Une hélice. L'hélice est une courbe, tandis que le vissage est une transformation de tout l'espace. Un point situé hors de l'axe peut tracer une hélice au fil d'un vissage continu, mais sa trajectoire n'est pas le déplacement lui-même.

Angle nul. Si θ = 0 et t n'est pas nul, le déplacement est une translation pure. Le symptôme est l'impossibilité de calculer t/θ : il faut décrire directement la translation, sans attribuer de valeur finie au pas réduit.

Angle défini modulo un tour. Une même rotation peut être écrite avec des angles qui diffèrent de 2π. Le quotient t/θ changerait si l'on remplaçait θ sans préciser le mouvement continu choisi. Il faut fixer un angle orienté représentatif ou une évolution continue avant de calculer le pas.

Convention du mot « pas ». Le rapport t/θ mesure une longueur par radian, mais certains contextes nomment « pas » la translation par tour complet. Une valeur sans unité ni convention est donc ambiguë ; il faut annoncer « pas réduit » ou « avancée par tour ».

Axe dans les cas dégénérés. Pour une rotation non nulle, l'axe du vissage est déterminé. Pour une translation pure, aucune droite unique ne s'impose : toute droite parallèle au vecteur de translation peut servir d'axe. Il faut alors donner le vecteur de translation plutôt que prétendre retrouver un axe unique.

La fiche translation précise la composante rectiligne du vissage et aide à isoler son cas dégénéré lorsque l'angle de rotation est nul.

On peut ensuite étudier les trajectoires des points selon leur distance à l'axe : un point de l'axe suit une droite, tandis qu'un point extérieur décrit une hélice lors d'un mouvement continu.