GéométrieNotion · Glossaire
Hélice
Une hélice est une courbe de l'espace à trois dimensions tracée sur un cylindre circulaire droit et formant un angle constant avec les génératrices du cylindre. Elle peut être paramétrée par (r*cos(t), r*sin(t), h*t), où r est le rayon du cylindre et h la montée par radian ; son pas (montée par tour) vaut 2πh. L'hélice est une courbe à courbure constante et à torsion constante. Réciproquement, toute courbe régulière dont la courbure est strictement positive et constante, et dont la torsion est définie et constante, est une hélice circulaire, à un déplacement rigide près. L'ADN a une structure en double hélice.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître l’enroulement à rayon et montée réguliers.
- Relier le coefficient vertical du paramétrage au pas par tour.
- Calculer la courbure et la torsion d’un exemple numérique.
- Identifier les cas dégénérés du cercle et de la droite.
En clair
Imaginez un point qui tourne autour d’un cylindre tout en montant régulièrement. À chaque tour, il revient dans la même direction autour de l’axe, mais un peu plus haut. Sa trajectoire est une hélice. Le rayon règle son écart à l’axe et le pas indique la montée accomplie en un tour.
Cette régularité distingue la forme mathématique idéale d’un simple tracé qui serpente dans l’espace. Une double hélice associe deux trajectoires hélicoïdales, comme dans la description de la structure de l’ADN.
Définition
Une hélice circulaire est une courbe de l’espace portée par un cylindre circulaire droit. Sa tangente forme un angle constant avec les droites parallèles à l’axe du cylindre, appelées génératrices. On note r le rayon positif, t le paramètre angulaire en radians et a la montée algébrique par radian. Un paramétrage est alors .
Le pas p, c’est-à-dire la montée algébrique après un tour complet, vérifie . Cette précision évite une ambiguïté fréquente : dans une écriture dont la troisième coordonnée est h t, le coefficient h est la montée par radian, sauf si le paramètre a été normalisé autrement. Le signe de a fixe le sens d’enroulement et sa valeur absolue fixe l’espacement vertical des tours.
Pour r et a constants, la courbure κ et la torsion τ, deux invariants du repère de Frenet, sont constantes : . Réciproquement, une courbe régulière de courbure constante strictement positive et de torsion constante est, à un déplacement rigide près, une hélice circulaire. La courbe plane obtenue quand a vaut zéro est un cercle.
Un exemple, pas à pas
On considère une hélice de rayon r = 2 cm et de montée par radian a = 0,5 cm. Le paramètre angulaire t part de 0. La figure représente deux tours de cette même courbe et rend visible la montée régulière.
1. Écrire le point courant : , avec les coordonnées exprimées en centimètres.
2. Après un tour, l’angle vaut 2π radians. Le point est revenu aux mêmes coordonnées horizontales : x = 2 cm et y = 0 cm.
3. La hauteur atteinte est cm. Le pas est donc exactement π cm, soit environ 3,14 cm par tour.
4. Les invariants valent cm−1 et cm−1.
Le contrôle consiste à remplacer t par 4π : les coordonnées horizontales redeviennent 2 cm et 0 cm, tandis que la hauteur vaut 2π cm. Deux tours produisent bien deux fois le pas.
En pratique
En géométrie, le paramétrage permet de construire point par point une trajectoire qui s’enroule autour d’un axe. L’hélice convient lorsque le rayon et la montée par radian restent constants ; si l’un varie, il faut décrire une autre courbe de l’espace.
Pour comparer deux hélices de même axe, on observe séparément le rayon et le pas. Un rayon plus grand éloigne la courbe de l’axe. Un pas plus grand espace davantage deux tours successifs.
Dans l’expression « double hélice de l’ADN », le mot décrit une structure formée de deux enroulements. Le modèle mathématique aide à nommer cette géométrie, sans réduire l’objet biologique à une courbe unique.
À ne pas confondre
Une hélice et une spirale plane. Une hélice circulaire reste à distance constante d’un axe et monte dans l’espace. Une spirale plane reste dans un même plan et sa distance au centre peut varier. Un tracé qui gagne de la hauteur à chaque tour autour d’un cylindre relève de l’hélice.
La torsion d’une courbe et la torsion d’un objet. Ici, la torsion est un invariant géométrique qui mesure la sortie du plan au fil de la courbe. Elle ne décrit pas la déformation mécanique d’un matériau. Une hélice idéale peut avoir une torsion constante sans qu’aucun objet soit physiquement tordu.
Limites et pièges
Pas nul. Si la montée par radian vaut zéro, la hauteur ne change plus. La courbe devient un cercle dans un plan : sa courbure reste constante, mais sa torsion vaut zéro. Il faut alors la nommer cercle plutôt qu’hélice montante.
Rayon nul. Si le rayon vaut zéro et la montée n’est pas nulle, le tracé se réduit à une droite portée par l’axe. Sa courbure vaut zéro et la torsion de Frenet ordinaire n’est plus définie. Les formules de l’hélice circulaire supposent donc un rayon strictement positif.
Coefficient vertical et pas. Dans , avec t en radians, la montée par tour est 2πh, et non h. Si l’on veut que le symbole p désigne directement le pas, la troisième coordonnée s’écrit .
Signe du pas. Deux valeurs opposées de la montée donnent des enroulements de sens opposés. Comparer seulement les valeurs absolues ferait perdre cette orientation ; il faut conserver le signe lorsque le sens d’enroulement compte.
Pour aller plus loin
La fiche Torsion approfondit l’invariant qui mesure comment une courbe de l’espace quitte son plan osculateur.
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