Lancret Michel

Imaginez un fil qui s'enroule autour d'un axe tout en avançant. Une hélice de ressort ne reste pas dans un seul plan : elle se courbe et tourne dans l'espace. C'est une courbe gauche, au sens géométrique. La courbure décrit le fait que le fil change de direction ; la torsion décrit le fait que son virage sort du plan local. Michel Lancret a étudié ce type de courbes et les surfaces que leurs tangentes peuvent engendrer.

Michel Lancret est un ingénieur et géomètre français dont les travaux portent notamment sur les courbes gauches, c'est-à-dire des courbes de l'espace à trois dimensions qui ne sont pas contenues dans un plan fixe. La courbure et la torsion sont des invariants différentiels, définis sur les portions suffisamment régulières où les formules s'appliquent ; elles peuvent s'annuler en certains points. La courbure mesure le changement de direction de la tangente par unité de longueur. La torsion mesure la variation du plan osculateur, le plan qui épouse localement la courbe ; une torsion non nulle signale que le virage se déploie hors d'un plan fixe. Avec la formule standard, l'inversion du paramètre ne change pas le signe de la torsion ; un éventuel changement de signe relève notamment de la convention d'orientation de l'espace.

Dans son Mémoire sur les courbes à double courbure publié en 1802, Lancret introduit aussi la surface rectifiante d'une courbe gauche. Il s'agit de la surface tangentielle développable engendrée par les tangentes à la courbe : chaque génératrice est une droite tangente, et ces droites forment, sur les portions régulières, une surface qui peut se déployer dans un plan sans étirement idéal. Elle se distingue de la développée plane, qui est le lieu des centres de courbure d'une courbe plane ; ces deux constructions ne sont donc pas des analogues directs sans précision supplémentaire. Ses recherches prolongent les travaux de Gaspard Monge, parallèlement à son activité d'ingénieur et à son rôle dans la publication de la Description de l'Égypte.

Considérons l'hélice circulaire de rayon 1, paramétrée par t : sa position est donnée par x(t) = cos(t), y(t) = sin(t) et z(t) = t. Le paramètre t est un angle en radians ; quand t augmente de 2π, le point effectue un tour et monte de 2π unités. Les données utiles sont donc un rayon égal à 1 et une montée de 2π par tour.

La dérivée première est le vecteur tangent (-sin(t), cos(t), 1), de norme √2. La dérivée seconde est (-cos(t), -sin(t), 0), et la dérivée troisième (sin(t), -cos(t), 0). Pour une paramétrisation quelconque, on utilise κ = ‖r′ × r″‖/‖r′‖³ et τ = det(r′, r″, r‴)/‖r′ × r″‖². Ici, r′ × r″ = (sin(t), -cos(t), 1), donc ‖r′ × r″‖ = √2 et κ = √2/(√2)³ = 1/2. De plus, det(r′, r″, r‴) = (r′ × r″) · r‴ = 1, d’où τ = 1/2. Ces formules servent respectivement à mesurer le changement de direction et le vrillage de la courbe.

Le résultat est cohérent avec l'observation : la courbure est non nulle, donc l'hélice change constamment de direction, et la torsion est non nulle, donc elle ne se réduit pas à une courbe plane. Un contrôle direct consiste à constater que le produit mixte de la tangente, de la dérivée seconde et de la dérivée troisième ne s'annule pas ; la torsion n'est donc pas nulle.

Pour étudier une trajectoire spatiale, on commence par vérifier qu'elle n'est pas contenue dans un plan. Une hélice, comme celle de l'exemple, fournit un modèle visible : sa hauteur change pendant que sa projection tourne autour de l'axe.

En géométrie différentielle, on calcule ensuite la courbure pour quantifier le changement de direction, puis la torsion pour détecter le changement du plan local. Sur une portion connexe régulière où la courbure ne s'annule pas et où la torsion est définie, une torsion nulle sur tout l'intervalle implique que la courbe est contenue dans un plan fixe ; pour une courbe réellement spatiale, on conserve les deux informations.

En conception géométrique, les tangentes servent enfin à construire la surface rectifiante. Cette construction est utile lorsque l'on veut suivre la direction locale d'une courbe plutôt que seulement son tracé apparent.

Une courbe gauche ne se confond pas avec une courbe plane simplement dessinée en perspective. Le critère qui tranche est l'existence d'un plan fixe contenant tous les points de la courbe. Une hélice circulaire n'en possède pas : sa hauteur varie pendant sa rotation, et sa torsion vaut 1/2 dans l'exemple conducteur.

La courbure et la torsion ne désignent pas deux dessins différents. La première décrit le changement de direction de la tangente ; la seconde décrit la rotation du plan osculateur. Pour l'hélice choisie, les deux valent 1/2, mais leurs rôles géométriques restent distincts.

La surface rectifiante n'est pas la développée plane d'une courbe plane. La première est engendrée par les tangentes d'une courbe gauche ; la seconde appartient au cadre plan. Le critère à vérifier est donc la nature de la courbe de départ et non l'apparence du résultat sur une image.

Une courbe peut être spatiale sans être une courbe gauche partout. Sur une portion connexe régulière où la courbure ne s'annule pas et où la torsion est définie, une torsion nulle sur tout l'intervalle implique que la courbe est contenue dans un plan fixe ; il faut donc éviter de conclure à partir d'un seul point ou d'un dessin en perspective. Dans l'exemple, la torsion constante 1/2 exclut ce cas.

Les formules de courbure et de torsion supposent une paramétrisation suffisamment régulière et une vitesse non nulle. À un point stationnaire, la tangente n'est pas définie par la paramétrisation donnée ; le calcul doit être repris avec un autre paramètre ou limité à une portion régulière.

Avec la formule standard, l'inversion du paramètre, c'est-à-dire le parcours de la courbe en sens inverse, laisse le signe de la torsion inchangé ; son annulation reste elle aussi inchangée. Un éventuel changement de signe vient notamment de la convention d'orientation de l'espace ou d'une autre convention de signe. Il faut donc préciser la formule et la convention utilisées avant de comparer deux valeurs signées.

La fiche peut être prolongée par la notion de courbe gauche, qui détaille le cadre géométrique dans lequel s'inscrivent les travaux de Lancret. Le lecteur y gagne une définition dédiée de la courbe spatiale et de ses invariants.

La page Torsion approfondit la grandeur qui distingue le virage spatial d'une courbure contenue dans un plan. Elle permet de poursuivre le calcul et l'interprétation de la valeur obtenue pour l'hélice.

L'article Des courbes qui sortent du plan propose une ouverture géométrique sur les courbes spatiales. Il aide à relier l'intuition visuelle de l'hélice au passage de la géométrie plane à la géométrie de l'espace.