Binormal (vecteur)

Imaginez un point qui avance sur une courbe tracée dans l’espace. Une flèche indique sa direction de marche, une autre le côté vers lequel la trajectoire tourne. Le vecteur binormal est une troisième flèche, perpendiculaire aux deux premières.

Les deux premières flèches déterminent le plan qui épouse au mieux la courbe à cet instant, appelé plan osculateur. La binormale en donne la direction perpendiculaire. Si cette flèche pivote le long du trajet, la courbe quitte son plan local.

Soit une courbe régulière de l’espace, paramétrée et parcourue dans un sens fixé. Son vecteur tangent unitaire est noté T. Lorsque la courbure ne s’annule pas, le vecteur normal principal unitaire N est défini et indique la variation de T. Le vecteur binormal unitaire B complète alors le repère de Frenet orienté. Il est défini par le produit vectoriel $B=T\times NB=T\backslash times\; N$.

Les vecteurs T et N engendrent le plan osculateur. Par construction, B est perpendiculaire à ce plan et aux deux vecteurs. Son signe dépend de l’ordre du produit vectoriel : inverser T et N donne −B. Inverser le sens de parcours change T et peut modifier les conventions du repère, sans changer le plan osculateur géométrique.

Si la longueur d’arc est notée s, la courbure κ et la torsion τ relient les trois vecteurs par les formules de Frenet-Serret. En particulier, $\frac{dB}{ds}=-\tau N\backslash frac\{dB\}\{ds\}=-\backslash tau\; N$. Une courbe plane possède une binormale constante sur chaque portion où le repère de Frenet est défini.

Le repère de Frenet réunit trois vecteurs unitaires au point étudié. Le tangent T suit le sens de parcours. Le normal principal N pointe vers le côté où T varie. Le binormal B est obtenu dans cet ordre par T × N. Les vecteurs T et N forment le plan osculateur, tandis que B lui est perpendiculaire.

La construction dépend donc d’abord d’une courbe régulière et d’un point où la courbure est non nulle. Le sens de parcours fixe l’orientation de T, puis l’ordre du produit fixe celle de B. La couleur, l’échelle ou le tracé d’un dessin ne définissent aucun de ces vecteurs. Ces données suffisent à construire le trièdre local et à situer le plan osculateur.

Considérons l’hélice paramétrée par le réel t, mesuré en radians : $r(t)=(\cos t,\sin t,t)r(t)=(\backslash cos\; t,\backslash sin\; t,t)$. On étudie le point correspondant à t = 0. Les données sont donc r(0) = (1, 0, 0) et $r^{\mathrm{\prime }}(t)=(-\sin t,\cos t,1)r\text{'}(t)=(-\backslash sin\; t,\backslash cos\; t,1)$.

1. La vitesse a pour norme √2. Le tangent unitaire au point étudié vaut donc $T(0)=\frac{1}{\sqrt{2}}(0,1,1)T(0)=\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\; 2\}(0,1,1)$.
2. Pour obtenir le normal, on dérive d’abord $T(t)=\frac{1}{\sqrt{2}}(-\sin t,\cos t,1)T(t)=\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\; 2\}(-\backslash sin\; t,\backslash cos\; t,1)$. Comme $ds\mathrm{/}dt=\sqrt{2}ds/dt=\backslash sqrt\; 2$, on trouve $\frac{dT}{ds}(0)=\frac{1}{2}(-1,0,0)\backslash frac\{dT\}\{ds\}(0)=\backslash frac\{1\}\{2\}(-1,0,0)$. Sa normalisation donne $N(0)=(-1,0,0)N(0)=(-1,0,0)$.
3. On effectue le produit vectoriel dans l’ordre T × N : $B(0)=\frac{1}{\sqrt{2}}(0,-1,1)B(0)=\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\; 2\}(0,-1,1)$.
4. Le contrôle est direct : les produits scalaires B(0) · T(0) et B(0) · N(0) valent tous deux 0, tandis que la norme de B(0) vaut 1.

La figure matérialise ces trois directions au même point de l’hélice. Le plan coloré contient T(0) et N(0) ; B(0) en sort perpendiculairement.

Pour construire le plan osculateur d’une courbe spatiale, on détermine T puis N au point choisi. Le plan engendré par ces deux directions est adapté quand la courbure ne s’annule pas ; sa normale est B.

Pour savoir si la courbe se comporte localement comme une courbe plane, on suit B le long du parcours. Une binormale constante signale un plan osculateur qui ne tourne pas sur la portion considérée. Si B varie, la torsion décrit cette rotation.

Dans un calcul, le produit T × N est préférable à un choix visuel de la direction perpendiculaire : il fixe sans ambiguïté l’orientation du troisième vecteur, à condition de conserver l’ordre des facteurs.

Binormale et normale principale. La normale principale N appartient au plan osculateur et indique le côté où la tangente varie. La binormale B est perpendiculaire à ce plan. Dans l’hélice étudiée à t = 0, N(0) = (−1, 0, 0), alors que B(0) a une composante verticale non nulle.

Binormale et plan osculateur. La binormale est un vecteur ; le plan osculateur est le plan engendré par T et N. Le test qui les sépare est l’appartenance au plan : B n’y appartient pas, puisqu’il lui est perpendiculaire.

Binormale et torsion. B est une direction du repère de Frenet, tandis que la torsion τ est une grandeur qui mesure la rotation du plan osculateur. La relation dB/ds = −τN relie les deux sans les identifier.

Courbure nulle. Si la courbure vaut 0 en un point, le normal principal du repère de Frenet n’y est pas déterminé par la variation de T. Le produit T × N ne fournit donc pas une binormale de Frenet unique à ce point. Il faut étudier une portion voisine ou employer un autre repère adapté.

Ordre du produit. Écrire N × T au lieu de T × N produit le vecteur opposé. Le symptôme est un trièdre orienté dans le sens contraire. Il faut conserver l’ordre T, N, B dans toute la construction.

Courbe plane. Sur une portion plane où le repère de Frenet existe, B reste constant ; cela ne signifie pas que T ou N sont constants. Ils peuvent tourner dans le plan tandis que leur produit conserve la même direction perpendiculaire.

Paramétrage. Les coordonnées de T, N et B dépendent du sens choisi pour parcourir la courbe. Pour comparer deux calculs, il faut d’abord vérifier le paramétrage et l’ordre du produit vectoriel, plutôt que conclure à une contradiction devant deux vecteurs opposés.

Le repère de Frenet replace la binormale dans le trièdre mobile formé avec la tangente et la normale principale.

La Torsion précise comment la variation de la binormale mesure la rotation du plan osculateur le long de la courbe.

Le plan osculateur développe le plan local engendré par la tangente et la normale, dont la binormale donne la direction perpendiculaire.