repère de Frenet

Imaginez une bille qui suit un fil de fer courbé dans l’espace. À chaque position, trois flèches voyagent avec elle. La première indique où le fil se dirige. La deuxième pointe vers l’intérieur du virage. La troisième, perpendiculaire aux deux autres, indique comment le virage sort du plan.

Ces trois directions forment le repère de Frenet. Il décrit la géométrie locale de la trajectoire : la courbure traduit la vigueur du virage, tandis que la torsion révèle son mouvement hors d’un même plan.

Le repère de Frenet, aussi appelé trièdre de Serret-Frenet, est un repère orthonormé direct attaché à un point M d’une courbe régulière C3 de l’espace, sur un intervalle où sa courbure ne s’annule pas. L’abscisse curviligne s mesure la longueur parcourue sur la courbe. Le vecteur tangent unitaire T donne la direction du mouvement : $T=\frac{dM}{ds}T=\backslash frac\{dM\}\{ds\}$.

Lorsque la courbure est non nulle, le changement de T définit le rayon de courbure R et le vecteur normal unitaire N. Le vecteur binormal B complète alors le repère direct par le produit vectoriel de T et N. La torsion signée κ₂ mesure la rotation du plan formé par T et N ; lorsqu’elle est non nulle, son inverse est le rayon de torsion τ. Ces définitions s’écrivent : $\frac{1}{R}=\parallel \frac{dT}{ds}\parallel ,N=R\frac{dT}{ds},B=T\times N,{\kappa }_2=B\cdot \frac{dN}{ds},\tau =\frac{1}{{\kappa }_2}({\kappa }_2\mathrm{\ne }0)\backslash frac\{1\}\{R\}=\backslash left\backslash |\backslash frac\{dT\}\{ds\}\backslash right\backslash |,\backslash quad\; N=R\backslash frac\{dT\}\{ds\},\backslash quad\; B=T\backslash times\; N,\backslash quad\; \backslash kappa\_2=B\backslash cdot\backslash frac\{dN\}\{ds\},\backslash quad\; \backslash tau=\backslash frac\{1\}\{\backslash kappa\_2\}\backslash \; (\backslash kappa\_2\backslash ne\; 0)$. Si κ₂ = 0, on peut dire par convention étendue que le rayon de torsion est infini, mais τ n’est alors pas un nombre réel.

Les formules de Frenet relient l’évolution des trois vecteurs aux deux grandeurs géométriques : $\frac{dT}{ds}=\frac{N}{R},\frac{dN}{ds}=-\frac{T}{R}+{\kappa }_{2}B,\frac{dB}{ds}=-{\kappa }_{2}N\backslash frac\{dT\}\{ds\}=\backslash frac\{N\}\{R\},\backslash quad\; \backslash frac\{dN\}\{ds\}=-\backslash frac\{T\}\{R\}+\backslash kappa\_2\; B,\backslash quad\; \backslash frac\{dB\}\{ds\}=-\backslash kappa\_2\; N$. La courbure 1/R quantifie l’écart à une ligne droite. La torsion κ₂ quantifie l’écart à une courbe plane. Le trièdre est ainsi déterminé localement pour une courbe régulière C3 sur un voisinage où sa courbure κ = 1/R est strictement positive.

Considérons l’hélice paramétrée par un nombre réel u : $M(u)=(3\cos u,3\sin u,4u)M(u)=(3\backslash cos\; u,3\backslash sin\; u,4u)$. Les longueurs sont exprimées dans une même unité. Les données sont le rayon 3, la montée 4 par radian et le point u = 0, soit M(0) = (3, 0, 0).

1. La dérivée de M a une norme constante égale à 5. En choisissant une abscisse curviligne orientée telle que s(0) = 0, on obtient donc s = 5u.
2. On divise la dérivée par 5 : $T(u)=(-\frac{3}{5}\sin u,\frac{3}{5}\cos u,\frac{4}{5})T(u)=\backslash left(-\backslash frac\{3\}\{5\}\backslash sin\; u,\backslash frac\{3\}\{5\}\backslash cos\; u,\backslash frac\{4\}\{5\}\backslash right)$.
3. La norme de dT/ds vaut 3/25. Ainsi, le rayon de courbure vaut R = 25/3 et $N(u)=(-\cos u,-\sin u,0)N(u)=(-\backslash cos\; u,-\backslash sin\; u,0)$.
4. Le produit vectoriel donne $B(u)=(\frac{4}{5}\sin u,-\frac{4}{5}\cos u,\frac{3}{5})B(u)=\backslash left(\backslash frac\{4\}\{5\}\backslash sin\; u,-\backslash frac\{4\}\{5\}\backslash cos\; u,\backslash frac\{3\}\{5\}\backslash right)$. La torsion vaut 1/τ = 4/25, donc τ = 25/4.

Au point u = 0, on obtient T = (0, 3/5, 4/5), N = (−1, 0, 0) et B = (0, −4/5, 3/5). Le contrôle est direct : chaque vecteur a une norme égale à 1 et leurs produits scalaires deux à deux sont nuls. Le dessin rend visibles ces trois directions attachées au même point de l’hélice.

En cinématique, le repère de Frenet sépare naturellement l’accélération d’un mobile en une composante tangentielle, liée à la variation de la vitesse, et une composante normale, tournée vers l’intérieur du virage. On le préfère à un repère fixe lorsque la direction de la trajectoire change.

Pour étudier une courbe de l’espace, on calcule T, N et B afin de suivre simultanément sa direction, sa courbure et sa torsion. Une description plane suffit si la binormale reste constante ; le trièdre complet devient utile dès que le plan de courbure tourne.

Dans un calcul concret, le bon réflexe consiste d’abord à paramétrer la courbe par son abscisse curviligne, ou à convertir les dérivées. Cela évite de confondre une variation du paramètre choisi avec une variation géométrique le long de la courbe.

Un repère cartésien fixe garde les mêmes axes lorsque le point se déplace. Le repère de Frenet tourne avec la courbe. Sur un cercle, les axes cartésiens restent immobiles alors que T et N changent continuellement de direction.

La base polaire dépend de la position par rapport à une origine choisie et n’est définie que si le point considéré est distinct de cette origine. Le repère de Frenet dépend de la trajectoire elle-même. Deux courbes passant par un même point distinct de l’origine peuvent donc partager la même base polaire mais posséder des tangentes ou des normales différentes.

Le produit vectoriel est une opération qui construit B à partir de T et N ; ce n’est pas le trièdre complet. Le test est simple : disposer seulement de T × N donne la binormale, mais ne décrit pas séparément les trois directions mobiles.

Courbure nulle. Sur un segment de droite, dT/ds = 0 et donc 1/R = 0. La formule N = R·dT/ds ne sélectionne alors aucune normale : le repère de Frenet classique n’est pas défini de manière unique. Il faut choisir un autre repère mobile si une orientation complète est nécessaire.

Courbure nulle en un point. Si la courbure s’annule seulement en un point, la normale peut devenir indéterminée ou changer de sens. Ce point n’est pas nécessairement un point d’inflexion : l’annulation de la courbure signale ici seulement que le repère de Frenet peut ne pas être défini. Le symptôme est une division par la norme nulle de dT/ds. Il faut étudier les limites de part et d’autre au lieu d’appliquer mécaniquement les formules au point critique.

Courbe plane. Une torsion identiquement nulle sur un intervalle connexe ne signifie pas que la courbe est droite. Pour une courbe C3 dont la courbure ne s’annule pas sur cet intervalle, elle implique que B reste constante et que la courbe demeure dans un plan. Dans la convention de la source, 1/τ = 0 correspond à un rayon de torsion infini ; il vaut mieux énoncer directement que la torsion est identiquement nulle sur l’intervalle.

Paramètre quelconque. Les formules données utilisent l’abscisse curviligne s. Si la courbe est décrite par un autre paramètre u, remplacer sans correction d/ds par d/du fausse les normes. Il faut utiliser $\frac{d}{ds}=\frac{1}{\mathrm{\parallel }{M}^{\mathrm{\prime }}(u)\mathrm{\parallel }}\frac{d}{du}\backslash frac\{d\}\{ds\}=\backslash frac\{1\}\{\backslash |M\text{'}(u)\backslash |\}\backslash frac\{d\}\{du\}$ lorsque la vitesse ne s’annule pas.

abscisse curviligne — Pour relier le paramètre d’une courbe à la distance réellement parcourue.

Torsion — Pour approfondir la grandeur qui mesure la sortie d’une courbe hors de son plan osculateur.

produit vectoriel — Pour revoir l’opération qui construit la binormale et fixe l’orientation directe du trièdre.

Hélice — Pour retrouver la courbe de l’exemple et observer un cas où courbure et torsion sont constantes.