produit vectoriel

Imaginez deux flèches posées dans un même plan. Leur produit vectoriel est une troisième flèche, perpendiculaire à ce plan. Son sens se trouve avec la main droite : les doigts tournent de la première flèche vers la seconde, et le pouce indique la direction obtenue.

Sa longueur dépend de la longueur des deux flèches et du sinus de l'angle entre elles. À longueurs fixées, elle est maximale quand les flèches sont perpendiculaires et nulle quand elles sont parallèles. Inverser l'ordre des deux flèches inverse le sens du résultat.

Dans un espace euclidien orienté de dimension 3, le produit vectoriel associe à deux vecteurs, notés u et v, un vecteur noté u ∧ v. Ce résultat est orthogonal à u et à v. Lorsque u et v sont non nuls et non colinéaires, son orientation est celle qui rend le trièdre formé successivement par u, v et u ∧ v direct, conformément à la règle de la main droite. Si l'un des vecteurs est nul ou s'ils sont colinéaires, leur produit vectoriel est le vecteur nul.

Lorsque u et v sont non nuls, si θ désigne l'angle compris entre eux, avec 0 ≤ θ ≤ π, sa norme vérifie $\parallel u\wedge v\parallel =\parallel u\parallel \parallel v\parallel \sin \theta \backslash lVert\; u\; \backslash wedge\; v\; \backslash rVert=\backslash lVert\; u\backslash rVert\backslash ,\backslash lVert\; v\backslash rVert\backslash sin\backslash theta$. Si l'un des vecteurs est nul, le produit vectoriel et sa norme sont nuls. Dans tous les cas, cette norme est l'aire du parallélogramme construit sur u et v. Le produit est nul exactement lorsque l'un des vecteurs est nul ou lorsque les deux vecteurs sont colinéaires.

L'ordre compte : $u\wedge v=-(v\wedge u)u\backslash wedge\; v=-(v\backslash wedge\; u)$. L'opération est distributive par rapport à l'addition, mais elle n'est pas associative. Les notions de longueur, d'orthogonalité et d'orientation font partie du cadre nécessaire ; une simple orientation d'un espace vectoriel ne suffit pas à elle seule.

Dans un repère orthonormé direct, on considère le vecteur u de coordonnées (2, 0, 0) et le vecteur v de coordonnées (0, 3, 0). Les deux vecteurs sont perpendiculaires, leurs normes valent respectivement 2 et 3, et l'angle θ qui les sépare vaut π/2.

1. Pour u = (u₁, u₂, u₃) et v = (v₁, v₂, v₃), la formule générale par coordonnées est :
Dans notre exemple, elle donne :

2. Le résultat pointe donc le long du troisième axe, dans le sens positif. La règle de la main droite confirme ce sens lorsque les doigts tournent de u vers v.

3. Sa norme vaut 6. Le contrôle par la formule géométrique donne aussi $\parallel u\parallel \parallel v\parallel \sin (\pi \mathrm{/}2)=2\times 3\times 1=6\backslash lVert\; u\backslash rVert\backslash ,\backslash lVert\; v\backslash rVert\backslash sin(\backslash pi/2)=2\backslash times3\backslash times1=6$. Les deux calculs concordent, et le résultat est bien orthogonal aux deux vecteurs de départ.

En géométrie, la norme du produit vectoriel donne l'aire du parallélogramme porté par deux vecteurs. Pour une aire sans orientation, on conserve cette norme ; pour une mesure d'angle, le produit scalaire est souvent plus direct.

En mécanique, un moment de force s'exprime par le produit vectoriel du vecteur qui relie le point de référence au point d'application avec le vecteur force. Le résultat encode à la fois l'intensité du moment et l'axe orienté de la rotation.

Pour vérifier rapidement un calcul, on contrôle trois indices : le résultat doit être perpendiculaire aux deux vecteurs, sa norme doit respecter la formule avec le sinus, et l'échange des facteurs doit seulement changer son signe.

Produit scalaire. Il associe à deux vecteurs un nombre, tandis que le produit vectoriel produit un vecteur perpendiculaire aux deux premiers. Pour u = (2, 0, 0) et v = (0, 3, 0), le produit scalaire vaut 0, alors que le produit vectoriel vaut (0, 0, 6).

Produit de nombres. La multiplication ordinaire est commutative et associative. Le produit vectoriel ne l'est pas : échanger u et v inverse le vecteur obtenu, et changer le parenthésage d'un produit de trois vecteurs peut changer le résultat.

Vecteurs colinéaires. Lorsque l'angle vaut 0 ou π, son sinus est nul : le produit vectoriel est le vecteur nul. Il n'indique alors aucune direction normale privilégiée ; il faut choisir une autre donnée pour orienter une normale.

Ordre inversé. Un résultat de bonne norme mais de sens opposé signale souvent que les deux facteurs ont été échangés. Il faut reprendre la règle de la main droite dans l'ordre exact u puis v.

Cadre incomplet. Parler de vecteurs perpendiculaires exige une structure euclidienne, et choisir le sens du résultat exige une orientation. Dans un espace vectoriel réel abstrait, même de dimension 3, ces données ne sont pas automatiques.

Trois facteurs. L'écriture u ∧ v ∧ w est ambiguë sans parenthèses, car le produit vectoriel n'est pas associatif. Il faut écrire explicitement (u ∧ v) ∧ w ou u ∧ (v ∧ w), selon l'opération voulue.

Le produit scalaire complète cette étude : il mesure l'alignement de deux vecteurs et permet de vérifier leur orthogonalité.

La fiche espace vectoriel précise le cadre algébrique dans lequel vivent les vecteurs avant l'ajout d'une norme et d'une orientation.