GéométrieFormule · Glossaire
formule du double produit vectoriel
Identité vectorielle exprimant le double produit vectoriel de trois vecteurs en termes de produits scalaires. Pour trois vecteurs u, v, w d'un espace euclidien orienté de dimension 3, notant ∧ le produit vectoriel et · le produit scalaire, on dispose des deux identités suivantes : u ∧ (v ∧ w) = (u · w) v − (u · v) w, (u ∧ v) ∧ w = (u · w) v − (v · w) u. Ces formules montrent que le double produit vectoriel est un vecteur coplanaire avec les deux vecteurs encadrés par la parenthèse. Elles sont couramment utilisées en physique mathématique, notamment en électromagnétisme et en mécanique des fluides, pour développer et simplifier des expressions vectorielles complexes.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître la formule correspondant à chaque parenthésage.
- Développer un double produit vectoriel en produits scalaires.
- Vérifier les deux identités sur un même exemple numérique.
- Distinguer le double produit vectoriel du produit mixte et d’une associativité inexistante.
En clair
Prenez trois flèches de l’espace : u = (1, 2, 0), v = (0, 1, 1) et w = (2, 0, 1). En calculant u ∧ (v ∧ w), on pourrait s’attendre à obtenir une nouvelle direction difficile à prévoir. La formule évite ce détour : le résultat est simplement une combinaison de v et de w.
Ici, il vaut 2v − 2w, donc (−4, 2, 0). Le résultat reste ainsi dans le plan engendré par les deux vecteurs placés à l’intérieur des parenthèses.
Définition
La formule du double produit vectoriel est une identité qui transforme deux produits vectoriels imbriqués en une combinaison linéaire. Soient u, v et w trois vecteurs d’un espace euclidien orienté de dimension 3. Le symbole ∧ désigne le produit vectoriel et le point · le produit scalaire.
Dans u ∧ (v ∧ w), la paire intérieure est v ∧ w et le résultat est une combinaison de v et de w : . Dans (u ∧ v) ∧ w, la paire intérieure est u ∧ v et le résultat est une combinaison de u et de v : .
L’ordre et les parenthèses sont essentiels, car le produit vectoriel n’est ni commutatif ni associatif. La première formule place donc le résultat dans le plan engendré par v et w ; la seconde le place dans celui engendré par u et v.
Le principe
Si u, v et w sont trois vecteurs d’un espace euclidien orienté de dimension 3, alors les deux développements sont :
Pour appliquer la bonne ligne, il faut d’abord repérer la paire entre parenthèses. Les deux coefficients du développement sont des produits scalaires ; le résultat est un vecteur, pas un nombre.
Quand l'utiliser
Ces identités s’appliquent à trois vecteurs d’un même espace euclidien orienté de dimension 3. Il faut disposer du produit scalaire et du produit vectoriel définis avec la même structure euclidienne et la même orientation. La formule reçoit trois vecteurs et rend un vecteur.
Avant de développer, trois contrôles sont utiles : les objets manipulés sont bien des vecteurs ; le symbole intérieur est un produit vectoriel ; les parenthèses sont conservées. Une expression comme u · (v ∧ w) ne convient pas : elle est un produit mixte et produit un scalaire. Dans ce contre-cas, il faut employer les propriétés du produit mixte, et non la formule du double produit vectoriel.
Un exemple, pas à pas
On prend u = (1, 2, 0), v = (0, 1, 1) et w = (2, 0, 1). Le but est de calculer u ∧ (v ∧ w), puis de contrôler le résultat par le développement en produits scalaires.
1. Le produit vectoriel vaut .
2. Le calcul direct donne alors .
3. Les deux produits scalaires nécessaires sont u · w = 2 et u · v = 2. La formule donne donc .
4. Les deux méthodes aboutissent au même vecteur. Le contrôle est aussi géométrique : (−4, 2, 0) = 2v − 2w appartient bien au plan engendré par v et w.
Avec l’autre parenthésage, u ∧ v = (2, −1, 1), puis (u ∧ v) ∧ w = (−1, 0, 2). La seconde identité confirme ce résultat, car u · w = 2 et v · w = 1 donnent 2v − u = (−1, 0, 2).
En pratique
Dans un calcul de coordonnées, la formule remplace deux produits vectoriels successifs par deux produits scalaires et une combinaison de vecteurs. Pour une unique vérification numérique, le calcul direct reste une alternative utile ; si l’expression doit ensuite être simplifiée, le développement est souvent plus lisible.
En électromagnétisme, elle développe les expressions vectorielles imbriquées en faisant apparaître les projections portées par les produits scalaires. Si un symbole représente un opérateur différentiel plutôt qu’un vecteur constant, il faut d’abord tenir compte des règles de dérivation.
En mécanique des fluides, elle aide à réorganiser des termes vectoriels complexes. Le bon réflexe consiste à identifier le parenthésage avant toute substitution ; lorsqu’un point · remplace l’un des deux symboles ∧, ce sont les règles du produit mixte qui prennent le relais.
À ne pas confondre
Avec le produit mixte. L’expression u · (v ∧ w) est un scalaire, tandis que u ∧ (v ∧ w) est un vecteur. Avec les données de l’exemple, le premier vaut 5 alors que le second vaut (−4, 2, 0).
Avec l’identité de Lagrange. Une relation portant sur la norme de u ∧ v relie des nombres, par exemple des carrés de normes et un produit scalaire. La formule du double produit vectoriel, elle, développe un vecteur obtenu par deux produits vectoriels successifs.
Avec une règle d’associativité. Les parenthèses ne peuvent pas être déplacées librement. Dans l’exemple, u ∧ (v ∧ w) = (−4, 2, 0), tandis que (u ∧ v) ∧ w = (−1, 0, 2) : les deux résultats diffèrent.
Limites et pièges
Parenthèses oubliées. Écrire u ∧ v ∧ w sans parenthèses masque une donnée indispensable, puisque le produit vectoriel n’est pas associatif. Il faut rétablir explicitement u ∧ (v ∧ w) ou (u ∧ v) ∧ w avant de calculer.
Vecteurs parallèles dans le produit vectoriel. Si v et w sont parallèles, alors v ∧ w = 0 et u ∧ (v ∧ w) = 0. Le développement ne devient pas faux : les deux termes se compensent exactement.
Coefficient scalaire nul. Si u · v = 0, le terme porté par w disparaît dans la première identité. Il ne faut pas en déduire que tout le double produit est nul : il reste (u · w)v, qui ne s’annule que si u · w = 0 ou v = 0.
Dimension différente de 3. Le produit vectoriel usuel employé ici est celui de l’espace euclidien orienté de dimension 3. Pour un calcul vectoriel général en dimension différente, il faut reformuler le problème avec d’autres outils, plutôt que recopier ces identités sans vérifier le cadre.
Pour aller plus loin
Le produit vectoriel précise l’orientation, la norme et les propriétés de l’opération ∧ utilisée deux fois dans ces identités.
Le produit scalaire permet de relire les coefficients u · w, u · v et v · w comme des mesures de projection.
La fiche Produit mixte montre ce qui change lorsqu’un produit scalaire remplace le produit vectoriel extérieur : le résultat devient un nombre.
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