Semi-linéaire (application)

Prenons un vecteur dont les coordonnées sont des nombres complexes et remplaçons chaque coordonnée par son conjugué. Les sommes sont conservées. En revanche, multiplier d'abord le vecteur par un nombre complexe revient, après transformation, à multiplier son image par le conjugué de ce nombre.

Une application semi-linéaire suit précisément ce principe : elle respecte l'addition, mais elle fait passer les scalaires par une transformation fixe du corps, appelée automorphisme. Si cette transformation ne change aucun scalaire, la semi-linéarité redevient la linéarité habituelle.

Soient deux espaces vectoriels V et W construits sur un même corps K. On fixe un automorphisme σ de K, c'est-à-dire une bijection de K vers lui-même qui préserve l'addition et la multiplication. Une application f de V vers W est dite σ-semi-linéaire lorsqu'elle est additive et que l'action des scalaires est transportée par σ. Pour tous vecteurs u et v de V et tout scalaire λ de K, les deux conditions sont :

L'automorphisme σ fait partie de la règle : sans lui, la manière dont les scalaires sont transformés n'est pas précisée. Si σ est l'identité de K, la seconde condition devient celle d'une application linéaire. Si K = ℂ et si σ est la conjugaison complexe, alors f est dite antilinéaire, ou conjuguée-linéaire. Ces applications semi-linéaires interviennent notamment en géométrie projective et dans la théorie des représentations.

Cinq éléments déterminent le cadre. Le corps K fournit les scalaires. Les espaces vectoriels V et W donnent respectivement le domaine et l'arrivée. L'automorphisme σ transforme chaque scalaire tout en conservant les opérations du corps. Enfin, l'application f transporte les vecteurs de V vers W.

Ces éléments dépendent les uns des autres. Les deux espaces doivent employer le même corps pour que σ(λ) puisse agir sur f(v). L'additivité de f règle le comportement des sommes, tandis que σ règle celui des multiples scalaires. Le choix d'une base ou l'écriture d'une matrice peuvent aider à calculer f, mais ils ne définissent pas la semi-linéarité. Le corps, les espaces, σ et les deux identités suffisent à tester la structure.

Dans l'espace vectoriel ℂ², on considère l'application f qui conjugue séparément les deux coordonnées. Le vecteur choisi est v = (1, i), le scalaire est λ = i et l'automorphisme σ est la conjugaison complexe.

1. Transformer le vecteur. La conjugaison laisse 1 inchangé et remplace i par −i, donc f(v) = (1, −i).

2. Multiplier avant d'appliquer f. Le produit iv vaut (i, −1). En conjuguant ses coordonnées, on obtient f(iv) = (−i, −1).

3. Transformer le scalaire. Le conjugué de i est −i. Ainsi, σ(i)f(v) = (−i)(1, −i) = (−i, −1).

Les deux chemins donnent bien le même résultat :

4. Vérifier l'additivité. Prenons u = (1, 0) et w = (0, i). Alors u + w = (1, i), donc f(u + w) = (1, −i). D'autre part, f(u) + f(w) = (1, 0) + (0, −i) = (1, −i). Ainsi, f(u + w) = f(u) + f(w).

5. Contrôler la différence avec la linéarité complexe. Une application ℂ-linéaire donnerait if(v) = (i, 1), qui est différent de (−i, −1). L'additivité et l'identité scalaire tordue étant toutes deux vérifiées, f est antilinéaire et donc semi-linéaire pour la conjugaison, mais elle n'est pas ℂ-linéaire.

Sur des vecteurs complexes, la première vérification consiste à observer ce que devient un scalaire comme i. Si i ressort sous la forme −i, la conjugaison fournit l'automorphisme pertinent ; une application complexe-linéaire ne convient pas à ce comportement.

En géométrie projective, les transformations semi-linéaires apparaissent lorsque l'action sur les vecteurs s'accompagne d'un automorphisme des scalaires. Le geste utile est alors de noter explicitement σ avant de comparer les images de deux représentants.

Dans la théorie des représentations, une transformation peut également agir sur les vecteurs tout en tordant les scalaires. Le test décisif reste double : vérifier l'addition, puis comparer f(λv) à σ(λ)f(v). Si les scalaires restent inchangés, le langage des applications linéaires suffit.

Application seulement additive. L'égalité f(u + v) = f(u) + f(v) ne suffit pas à conclure. Il faut aussi exhiber un automorphisme σ du corps tel que f(λv) = σ(λ)f(v) pour tous λ et v. Une application additive qui échoue à ce second test n'est pas semi-linéaire pour ce σ.

Application linéaire. Elle conserve les scalaires eux-mêmes : f(λv) = λf(v). Dans l'exemple sur ℂ², la conjugaison donne f(iv) = (−i, −1), alors que la linéarité complexe imposerait if(v) = (i, 1). Les résultats différents tranchent immédiatement.

Automorphisme non précisé. Écrire seulement « semi-linéaire » peut masquer la transformation des scalaires. Le symptôme est une formule où σ n'est jamais nommé. Il faut fixer σ et parler, si nécessaire, d'application σ-semi-linéaire.

Cas de l'identité. Lorsque σ laisse tout scalaire inchangé, la loi tordue devient la loi ordinaire. Il ne faut pas chercher un effet supplémentaire : l'application est alors linéaire.

Cas nul. L'application qui envoie tout vecteur sur le vecteur nul satisfait la loi pour tout automorphisme du corps. La seule observation de f ne permet donc pas toujours de retrouver σ ; celui-ci doit rester une donnée du cadre.

Conjugaison sur ℂ. Le mot « antilinéaire » correspond au choix précis σ(z) = z̄. Une application semi-linéaire associée à un autre automorphisme ne doit pas recevoir automatiquement ce nom.

L'article espace vectoriel permet de revoir le rôle du corps, des scalaires et des deux opérations que la semi-linéarité articule.

La fiche application linéaire détaille le cas où l'automorphisme σ est l'identité et fournit le point de comparaison direct.

L'article Des nombres pas si complexes prolonge le contexte du cas antilinéaire fondé sur la conjugaison complexe.