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Anti-linéaire (application)
Une application anti-linéaire (ou semi-linéaire conjuguée) entre deux espaces vectoriels complexes est une application qui est additive mais conjuguée-homogène : elle vérifie et , où λ désigne un nombre complexe et son conjugué. Les applications anti-linéaires apparaissent naturellement en mécanique quantique, notamment dans la définition des opérateurs anti-unitaires et de la conjugaison de charge. Lorsque deux applications anti-linéaires sont composables, c’est-à-dire lorsque l’espace d’arrivée de la première est l’espace de départ de la seconde, leur composée est linéaire.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les deux conditions d’une application anti-linéaire.
- Vérifier la conjugaison sur un calcul avec le scalaire i.
- Expliquer pourquoi deux applications anti-linéaires composées donnent une application linéaire.
- Distinguer anti-linéarité, linéarité et anti-unitarité.
En clair
Dans le plan complexe, la conjugaison transforme le point 1 + 2i en 1 − 2i. Elle conserve la partie réelle et retourne la partie imaginaire, comme une réflexion par rapport à l’axe réel.
Cette transformation additionne normalement les images, mais elle réagit autrement à une multiplication complexe : le multiplicateur est lui aussi conjugué. C’est ce retournement du scalaire qui caractérise une application anti-linéaire. Lorsque deux applications anti-linéaires sont composables, c’est-à-dire lorsque l’espace d’arrivée de la première est l’espace de départ de la seconde, deux retournements successifs s’annulent et leur composition redevient linéaire.
Définition
Soient deux espaces vectoriels complexes, notés V et W. Une application f de V vers W est anti-linéaire, ou semi-linéaire conjuguée, lorsqu’elle satisfait deux règles. Pour tous vecteurs u et v de V, elle est additive : . Pour tout nombre complexe λ et tout vecteur u, elle est conjuguée-homogène : . La barre désigne ici le conjugué complexe.
La conjugaison C définie sur les nombres complexes par est l’exemple fondamental. Si f va de V vers W et g de W vers un troisième espace complexe X, et si f et g sont anti-linéaires, alors leur composée g ∘ f est linéaire : les deux conjugaisons du scalaire se compensent. Cette propriété intervient notamment dans l’étude des opérateurs anti-unitaires en mécanique quantique.
De quoi c'est fait
Une application anti-linéaire comporte quatre données liées. Son espace de départ V et son espace d’arrivée W doivent être des espaces vectoriels complexes. La loi d’addition des vecteurs permet de tester l’additivité. La multiplication par un scalaire complexe fournit le second test, dans lequel le scalaire λ devient son conjugué . Enfin, la règle f associe à chaque vecteur de V un vecteur de W.
Les deux espaces déterminent quelles additions et multiplications sont autorisées ; la règle f doit respecter ces opérations de la façon prescrite. L’additivité seule ne suffit donc pas, et la conjugaison du scalaire n’a de sens que parce que les scalaires sont complexes. Ces données suffisent à tester l’anti-linéarité et à calculer l’image de toute combinaison complexe de vecteurs dont les images sont connues.
Un exemple, pas à pas
Prenons l’application C qui conjugue un nombre complexe. Les données sont u = 1 + 2i, v = 2 − i et le scalaire λ = i.
1. On additionne les deux nombres : u + v = 3 + i. Leur somme est envoyée sur C(u + v) = 3 − i.
2. On conjugue séparément : C(u) = 1 − 2i et C(v) = 2 + i. Leur somme vaut 3 − i, ce qui vérifie l’additivité.
3. On multiplie u par i : iu = −2 + i, puis C(iu) = −2 − i. Or le conjugué de i est −i, et (−i)C(u) = (−i)(1 − 2i) = −2 − i. La règle conjuguée-homogène est donc vérifiée sur ce calcul.
4. Un second passage par C donne C(C(u)) = u. La composée C ∘ C est ici l’identité, donc une application linéaire. Dans le plan complexe, conjuguer conserve la partie réelle et inverse le signe de la partie imaginaire : le point 1 + 2i devient exactement 1 − 2i.
En pratique
Pour reconnaître une application anti-linéaire, on choisit deux vecteurs et un scalaire complexe non réel, par exemple i. On contrôle séparément l’addition et la multiplication par ce scalaire. Un test limité aux scalaires réels ne peut pas révéler la conjugaison, car un réel est égal à son conjugué.
Dans un calcul de composition, on suit le scalaire plutôt que les seuls vecteurs. Après une application anti-linéaire, λ devient son conjugué ; après une seconde, il redevient λ. Ce suivi permet de décider si la composée obtenue est linéaire.
En mécanique quantique, certaines symétries se modélisent par des opérateurs anti-unitaires. L’anti-linéarité décrit alors le comportement vis-à-vis des scalaires complexes ; la condition anti-unitaire ajoute une exigence métrique. Si seule la règle sur les scalaires est en jeu, le terme anti-linéaire est le plus précis.
À ne pas confondre
Une application linéaire conserve directement les scalaires : f(λu) = λf(u). Une application anti-linéaire les conjugue. Le scalaire i tranche immédiatement : la première donne if(u), la seconde donne −if(u).
Une application anti-unitaire n’est pas un simple synonyme. Elle est bijective, anti-linéaire et préserve en plus la structure métrique issue du produit scalaire. Une multiplication réelle de la conjugaison par 2 reste anti-linéaire, mais elle double les normes et n’est donc pas anti-unitaire.
La conjugaison d’un nombre complexe est une opération particulière, tandis qu’une application anti-linéaire peut agir entre des espaces complexes de dimension quelconque. Sur ℂ, l’application z ↦ 2z̄ est anti-linéaire sans être la seule conjugaison.
Limites et pièges
Sur les scalaires réels, la conjugaison ne change rien. Une application anti-linéaire complexe est donc linéaire lorsqu’on oublie la multiplication par les scalaires non réels et qu’on considère seulement les espaces vectoriels réels. Pour détecter l’anti-linéarité complexe, il faut tester au moins un scalaire non réel.
L’application nulle est à la fois linéaire et anti-linéaire, car toutes les égalités donnent zéro. En revanche, une application complexe qui est simultanément linéaire et anti-linéaire doit être nulle : avec le scalaire i, son image devrait être à la fois if(u) et −if(u).
Une seule égalité réussie ne prouve rien pour tous les vecteurs et tous les scalaires. Le calcul guidé illustre les règles, mais une preuve d’anti-linéarité doit établir l’additivité pour toute paire de vecteurs et la conjugaison pour tout scalaire complexe.
La composition annoncée comme linéaire exige deux applications anti-linéaires composables : l’espace d’arrivée de la première doit être l’espace de départ de la seconde. Une composition avec une seule application anti-linéaire reste anti-linéaire si l’autre application est linéaire.
Pour aller plus loin
La fiche conjugué d’un nombre complexe approfondit l’opération qui fournit l’exemple anti-linéaire fondamental sur ℂ.
La fiche application linéaire permet de comparer précisément les deux règles d’homogénéité et leur comportement sous composition.
L’article Les espaces de Hilbert, un cadre pour la mécanique quantique situe le cadre où apparaissent les opérateurs anti-unitaires.
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