Unitaire (endomorphisme)

Imaginez une flèche dans le plan, de longueur 5. Une transformation unitaire peut la faire pivoter ou échanger ses coordonnées, mais elle ne l'allonge ni ne la raccourcit. Dans un espace complexe, le produit scalaire hermitien conserve la même idée de longueur et d'angle.

Le mot s'emploie aussi pour une flèche de longueur 1 : elle est alors unitaire, ou normée. Une flèche non nulle devient unitaire en divisant chacune de ses composantes par sa longueur.

Un espace hermitien est un espace vectoriel complexe muni d'un produit scalaire hermitien, qui fournit notamment une norme. Un endomorphisme U de cet espace est unitaire lorsqu'il conserve ce produit scalaire pour tous les vecteurs x et y :La conservation du produit scalaire entraîne celle des normes.

Dans une base orthonormée, la matrice carrée A de U vérifie la condition suivante, où A^* désigne la transposée conjuguée de A :Elle est donc inversible et son inverse est A^*. Les matrices unitaires de taille n forment le groupe U(n), pour la multiplication matricielle. Dans le cas réel, la transposée conjuguée devient la transposée et l'on retrouve les matrices orthogonales.

Le même adjectif qualifie un vecteur dont la norme vaut 1. Si v est un vecteur non nul, sa normalisation est le vecteur v divisé par sa norme ; cette opération est impossible pour le vecteur nul.

Considérons l'espace complexe C², muni du produit scalaire usuel, et la matrice réelle U qui échange les deux coordonnées :Pour le vecteur v=(3,4), la transformation donne Uv=(4,3).

La matrice U est sa propre transposée. Comme U^*U est l'identité de taille 2, U est unitaire. Le calcul des longueurs confirme le critère :La longueur est donc conservée exactement.

La normalisation de v consiste ensuite à diviser ses coordonnées par 5. Le vecteur obtenu est (3/5,4/5), et sa norme vaut exactement 1. L'image montre les deux flèches du plan réel : leurs coordonnées changent, mais leur longueur commune reste 5.

Pour vérifier qu'une matrice A est unitaire, calculez sa transposée conjuguée A^*, puis multipliez-la par A. Si le résultat est l'identité et que A est carrée, la matrice est unitaire. La relation A^*A=I_n suffit aussi à garantir l'autre relation pour une matrice carrée.

Pour vérifier qu'un vecteur est unitaire, calculez sa norme et comparez-la à 1. Pour fabriquer un vecteur unitaire à partir d'un vecteur non nul, divisez-le par cette norme. En calcul numérique, une tolérance est nécessaire, car les arrondis peuvent remplacer l'égalité exacte par une valeur très proche de 1.

Un vecteur unitaire n'est pas un endomorphisme unitaire. Le premier est un objet auquel on attribue une norme égale à 1 ; le second est une transformation qui conserve le produit scalaire. Une matrice unitaire représente ce second objet dans une base orthonormée.

Dans un espace réel, une matrice unitaire est orthogonale. Dans un espace complexe, la transposée seule ne suffit pas : il faut conjuguer les coefficients avant de transposer. Enfin, être inversible ne suffit pas à être unitaire ; l'inverse doit précisément être la transposée conjuguée.

La conservation de la norme seule ne doit pas être utilisée sans préciser le cadre. Pour une application linéaire entre deux espaces hermitiens de même dimension, elle équivaut à la conservation du produit scalaire et caractérise une isométrie unitaire entre ces espaces. Si la source et le but sont le même espace, il s'agit d'un endomorphisme unitaire. Pour une application non linéaire, préserver les longueurs ne suffit pas en général à obtenir un endomorphisme unitaire.

Le vecteur nul ne peut pas être normalisé, car sa norme vaut 0 et une division par 0 n'est pas définie. Une matrice rectangulaire peut avoir des colonnes orthonormées sans être une matrice unitaire au sens du groupe U(n) : elle décrit alors une isométrie entre espaces de dimensions différentes, pas un élément de U(n).

Les nombres complexes ajoutent une précaution concrète. Pour z=a+ib, le conjugué est z̄=a−ib ; remplacer la transposée conjuguée par la transposée ordinaire peut donc changer le résultat. La condition doit être évaluée avec le produit scalaire et la convention de conjugaison retenus.

Les matrices unitaires forment le groupe U(n) : le produit de deux matrices unitaires est unitaire, l'identité en est l'élément neutre et la transposée conjuguée donne l'inverse. Cette structure permet de composer des changements de coordonnées qui conservent la géométrie hermitienne.

Le déterminant d'une matrice unitaire a un module égal à 1. Les matrices unitaires de déterminant exactement 1 forment le sous-groupe spécial unitaire SU(n). En dimension 2, ces groupes apparaissent notamment dans l'étude des rotations complexes et des symétries de systèmes quantiques.