Antihermitienne (matrice)

Prenez un carré de nombres complexes et échangez ses lignes avec ses colonnes. Remplacez ensuite chaque nombre par son conjugué. Si le tableau obtenu est exactement l'opposé du tableau de départ, la matrice est antihermitienne. Ce miroir algébrique impose deux signes visibles : les nombres de la diagonale sont imaginaires purs ou nuls, et deux cases symétriques de part et d'autre de la diagonale sont opposées après conjugaison.

Soit A une matrice carrée dont les coefficients sont complexes. Sa matrice adjointe, notée A*, s'obtient en transposant A puis en conjuguant chacun de ses coefficients. La matrice A est dite antihermitienne, ou anti-hermitienne, lorsque son adjointe est son opposée : $A^{\ast }=-AA^*=-A$.

Coefficient par coefficient, si a_jk désigne l'entrée située à la ligne j et à la colonne k, la condition devient $a_{kj}=-\overline{a_{jk}}a\_\{kj\}=-\backslash overline\{a\_\{jk\}\}$. Sur la diagonale, elle impose qu'un coefficient soit imaginaire pur ou nul. Hors de la diagonale, une seule entrée de chaque paire symétrique détermine l'autre. Les valeurs propres sont imaginaires pures ou nulles. L'ensemble de ces matrices est fermé pour l'addition et pour la multiplication par un nombre réel, mais pas en général par un nombre complexe. Il forme l'algèbre de Lie du groupe unitaire. Pour un endomorphisme d'un espace hermitien, la même notion porte le nom d'opérateur anti-adjoint et vérifie $⟨Au,v⟩=-⟨u,Av⟩\backslash langle\; Au,v\backslash rangle=-\backslash langle\; u,Av\backslash rangle$ pour tous les vecteurs u et v.

Quatre éléments organisent une matrice antihermitienne. Le tableau doit d'abord être carré, afin que la transposition conserve ses dimensions. Ses coefficients peuvent être complexes, ce qui rend nécessaire la conjugaison. La diagonale contient seulement des imaginaires purs ou des zéros. Enfin, les deux triangles placés de part et d'autre de cette diagonale sont liés : choisir une entrée dans l'un fixe l'entrée symétrique dans l'autre par conjugaison puis changement de signe.

Ces dépendances suffisent à construire la matrice entière à partir de sa diagonale et d'un seul triangle. Elles suffisent aussi à tester la propriété case par case. La taille du tableau ou la manière de le représenter ne définit pas l'antihermiticité ; seule la relation entre les coefficients et leur position symétrique est décisive.

Considérons une matrice carrée de taille 2. Ses données sont les quatre coefficients i, 2, −2 et −i, où i est le nombre complexe dont le carré vaut −1 :

1. Transposons la matrice : les deux coefficients hors diagonale échangent leur place.
2. Conjuguons chaque coefficient : i devient −i, −i devient i, tandis que 2 et −2 restent réels.
3. Nous obtenons l'adjointe :

4. Calculons séparément l'opposée de A : Une comparaison case par case rend l'égalité entre l'adjointe et l'opposée immédiatement vérifiable.

Les deux matrices obtenues sont identiques : A est donc antihermitienne. Pour contrôler aussi son spectre, son polynôme caractéristique vaut ${\lambda }^2+5\backslash lambda^2+5$. Ses deux valeurs propres sont $i\sqrt{5}i\backslash sqrt\{5\}$ et $-i\sqrt{5}-i\backslash sqrt\{5\}$, toutes deux imaginaires pures.

Pour reconnaître une matrice donnée, on calcule son adjointe et on la compare à son opposée. Un seul coefficient différent suffit à écarter l'antihermiticité. Ce test direct est préférable à l'examen des seules valeurs propres, car un spectre imaginaire ne suffit pas à lui seul.

Pour construire un exemple, on choisit des imaginaires purs sur la diagonale et des coefficients libres dans un triangle. Chaque coefficient symétrique est alors imposé par conjugaison et changement de signe. Cette méthode évite de vérifier deux fois la même paire de cases.

Pour étudier une évolution unitaire, les matrices antihermitiennes apparaissent comme directions infinitésimales du groupe unitaire. Si l'objet recherché doit au contraire avoir des valeurs propres réelles, la matrice hermitienne est la structure voisine à privilégier.

Matrice hermitienne. Elle vérifie $A^{\ast }=AA^*=A$, sans signe moins. Une matrice diagonale réelle est hermitienne ; une matrice diagonale imaginaire pure est antihermitienne.

Matrice antisymétrique réelle. Elle vérifie que sa transposée est son opposée. Sur des coefficients réels, la conjugaison ne change rien et cette condition coïncide avec l'antihermiticité. La matrice complexe est antihermitienne, mais sa transposée est elle-même : la seule transposition ne suffit plus.

Matrice unitaire. Elle vérifie $U^{\ast }U=IU^*U=I$, où I est la matrice identité. La matrice identité est unitaire, mais elle n'est pas antihermitienne. Une matrice antihermitienne décrit une direction infinitésimale associée au groupe unitaire ; elle n'est pas elle-même unitaire en général.

Cas nul. La matrice nulle est à la fois hermitienne et antihermitienne. Ce chevauchement ne contredit pas les deux définitions : son adjointe, son opposée et elle-même sont toutes nulles. Sur les nombres complexes, c'est le seul cas commun aux deux classes.

Multiplication scalaire. Multiplier une matrice antihermitienne par un réel conserve la propriété. La multiplier par i produit au contraire une matrice hermitienne. Il faut donc parler d'espace vectoriel réel, et non d'espace vectoriel complexe.

Test spectral trompeur. Des valeurs propres imaginaires pures ne garantissent pas que la matrice soit antihermitienne. Par exemple, possède deux fois la valeur propre i, mais son adjointe n'est pas son opposée. Le verdict exige donc une comparaison coefficient par coefficient.

Calcul numérique. Avec des coefficients arrondis, une égalité exacte peut être masquée par de petites erreurs. On contrôle alors la norme de la somme $A^{\ast }+AA^*+A$ avec une tolérance annoncée, adaptée à la précision des données, plutôt que d'imposer arbitrairement zéro à chaque case.

La fiche matrice hermitienne présente la condition sœur sans changement de signe et éclaire la transformation obtenue en multipliant par i.

La notion de valeur propre précise comment lire le spectre imaginaire pur caractéristique d'une matrice antihermitienne.

L'algèbre de Lie situe ces matrices comme directions infinitésimales du groupe unitaire et explique leur stabilité par le crochet.