matrice adjointe

Imaginez une grille de nombres complexes. Pour fabriquer sa matrice adjointe, chaque nombre change d’abord le signe de sa partie imaginaire : 2 − i devient 2 + i. Ensuite, les lignes deviennent les colonnes.

Ces deux gestes, conjuguer puis transposer, forment une seule opération. Avec des nombres réels, le premier geste ne change rien : l’adjointe est alors simplement la transposée.

On considère une matrice carrée M dont les coefficients sont complexes. Sa matrice adjointe, aussi appelée transconjuguée et notée M*, s’obtient en conjuguant chaque coefficient, puis en transposant la matrice obtenue. Si le coefficient situé sur la ligne i et la colonne j de M est noté m_ij, le coefficient correspondant de M* vérifie : $(M^{\ast }{)}_{ij}=\overline{m_{ji}}(M^*)\_\{ij\}=\backslash overline\{m\_\{ji\}\}$. La barre désigne la conjugaison complexe.

En notant M̄ la matrice obtenue en remplaçant chaque coefficient a + ib par a − ib, la définition s’écrit $M^{\ast }=(\bar{M}{)}^{\mathsf{T}}M^*=(\backslash overline\{M\})^\{\backslash mathsf\; T\}$. Pour une matrice réelle, M̄ = M, donc M* = Mᵀ. Une matrice complexe est hermitienne, ou autoadjointe, lorsque M* = M. Elle est unitaire lorsque son adjointe est aussi son inverse, c’est-à-dire M* = M⁻¹.

La construction mobilise quatre éléments. La matrice carrée M fournit les coefficients de départ. Chaque coefficient complexe possède une partie réelle et une partie imaginaire ; la conjugaison conserve la première et change le signe de la seconde. La transposition échange ensuite les indices de ligne et de colonne. Enfin, la notation M* désigne le résultat des deux opérations.

L’ordre décrit le mécanisme sans ambiguïté : un coefficient de la ligne j et de la colonne i est conjugué avant d’occuper la ligne i et la colonne j. Le schéma suit ce déplacement sur la même matrice 2 × 2 que l’exemple. Ces données suffisent à construire chaque coefficient de l’adjointe.

Prenons une matrice M de deux lignes et deux colonnes. Ses quatre données sont 1 + i, 2 − i, −3i et 4 :

1. Conjuguons chaque coefficient. Les parties imaginaires changent de signe, tandis que le réel 4 reste inchangé :

2. Transposons cette matrice. Les deux coefficients hors de la diagonale échangent leur position :

Le contrôle se refait coefficient par coefficient. Par exemple, le coefficient 2 − i, placé en ligne 1 et colonne 2 dans M, devient 2 + i en ligne 2 et colonne 1 dans M*. Le coefficient diagonal 1 + i reste à sa place mais devient 1 − i.

Pour tester si une matrice complexe est hermitienne, on construit son adjointe et on la compare à la matrice de départ. L’égalité M* = M donne le verdict. Comparer seulement la transposée serait insuffisant dès qu’un coefficient possède une partie imaginaire.

Pour tester si une matrice est unitaire, on compare son adjointe à son inverse. Le critère est M* = M⁻¹. Si l’on travaille avec une matrice réelle, la conjugaison est inutile et la transposée suffit pour obtenir l’adjointe.

En physique quantique et en analyse fonctionnelle, cette opération intervient précisément parce que les matrices hermitiennes et unitaires y jouent un rôle central. Le calcul commence toujours par l’examen des coefficients : réels ou complexes.

La transposée. Elle échange seulement lignes et colonnes. L’adjointe conjugue aussi les coefficients. Pour la matrice de l’exemple, 1 + i reste 1 + i dans la transposée, mais devient 1 − i dans l’adjointe. Les deux opérations coïncident lorsque tous les coefficients sont réels.

L’inverse. L’inverse d’une matrice M, lorsqu’il existe, est une matrice M⁻¹ dont le produit avec M donne la matrice identité. L’adjointe, elle, se construit toujours ici par conjugaison et transposition. Les deux ne coïncident que dans le cas particulier d’une matrice unitaire.

La matrice conjuguée. Elle change le signe des parties imaginaires sans échanger les positions. Dans l’exemple, 2 + i reste en ligne 1 et colonne 2 dans M̄, mais passe en ligne 2 et colonne 1 dans M*.

Coefficients réels. L’absence de partie imaginaire rend la conjugaison invisible. Le symptôme est que M* et Mᵀ donnent exactement les mêmes coefficients ; il faut alors retenir que cette coïncidence vient du cas réel, pas d’une définition différente.

Ordre des indices. Conjuguer un coefficient sans l’envoyer à la position symétrique produit seulement M̄. Pour obtenir M*, le coefficient de position (j, i) doit devenir, après conjugaison, celui de position (i, j).

Égalités particulières. Une matrice n’est pas hermitienne simplement parce que certains coefficients sont réels : tous les coefficients doivent satisfaire M* = M. De même, écrire M* = M⁻¹ exige que l’inverse existe et caractérise alors le cas unitaire.

Notation. L’étoile de M* désigne ici la transconjuguée. Pour éviter toute lecture incertaine, il faut revenir à l’identité $M^{\ast }=(\bar{M}{)}^{\mathsf{T}}M^*=(\backslash overline\{M\})^\{\backslash mathsf\; T\}$ et vérifier les deux opérations.

La fiche Transposée isole l’échange des lignes et des colonnes, l’un des deux gestes qui construisent l’adjointe.

La fiche matrice hermitienne approfondit le cas où une matrice est égale à sa propre adjointe.

La fiche Unitaire (matrice) développe le cas où l’adjointe coïncide avec l’inverse.