Unitaire (matrice)

Imaginez une flèche tournée d’un quart de tour. Sa direction change, mais sa longueur reste identique, et l’angle qu’elle forme avec toute autre flèche est préservé. Une matrice unitaire réalise le même type de transformation dans un espace complexe : elle déplace les vecteurs sans les étirer ni les rapprocher.

Ses colonnes jouent le rôle d’axes perpendiculaires de longueur 1. Cette propriété rend la transformation parfaitement réversible : pour revenir en arrière, il suffit de conjuguer les nombres complexes puis de transposer la matrice.

Soit un espace vectoriel complexe de dimension finie muni d’un produit scalaire hermitien. Un endomorphisme est unitaire lorsqu’il conserve ce produit scalaire pour toute paire de vecteurs. Si les vecteurs sont notés x et y, et l’endomorphisme U, la condition est $⟨Ux,Uy⟩=⟨x,y⟩\backslash langle\; Ux,Uy\backslash rangle=\backslash langle\; x,y\backslash rangle$. Elle entraîne la conservation des normes, des angles définis par cette structure et de l’orthogonalité.

Dans une base orthonormée, U est représenté par une matrice carrée complexe. Sa transposée conjuguée, notée U^*, s’obtient en conjuguant chaque coefficient puis en échangeant lignes et colonnes. La condition matricielle complète est $U^{\ast }U=U{U}^{\ast }=I_{n}U^*U=UU^*=I\_n$, où I_n est la matrice identité de taille n. Ainsi, $U^{-1}=U^{\ast }U^\{-1\}=U^*$. Les matrices unitaires de taille n forment le groupe U(n).

De façon équivalente, les colonnes de U constituent une base orthonormée pour le produit hermitien. Le mot « unitaire » qualifie aussi un vecteur de norme 1 : tout vecteur non nul x devient unitaire après normalisation, par $x\mathrm{/}\parallel x\parallel x/\backslash lVert\; x\backslash rVert$. Cet emploi concerne un vecteur, non une transformation.

Une matrice unitaire repose sur cinq éléments liés. La matrice carrée complexe U décrit la transformation. Ses colonnes sont les images des vecteurs de la base de départ. Le produit scalaire hermitien mesure leurs longueurs et leurs relations d’orthogonalité. La matrice U^* conjugue les coefficients de U et échange ses lignes avec ses colonnes. Enfin, la matrice identité I_n représente l’absence de transformation.

Multiplier U^* par U rassemble tous les produits scalaires entre colonnes : les 1 sur la diagonale certifient leur norme unitaire, et les 0 ailleurs certifient leur orthogonalité. L’égalité avec I_n suffit donc à reconnaître la structure et fournit aussitôt l’inverse. La couleur ou la disposition visuelle des coefficients ne joue aucun rôle.

Considérons la matrice réelle R qui tourne le plan d’un quart de tour dans le sens direct. Une matrice réelle étant aussi une matrice complexe, cet exemple permet de tester le critère unitaire. Les données sont la matrice R, le vecteur v de coordonnées (3, 4) et sa norme 5.

1. Écrivons la matrice et sa transposée conjuguée, qui est ici sa simple transposée.

2. Multiplions les deux matrices.
Le critère est satisfait : R est unitaire.

3. Appliquons R au vecteur v.

4. Contrôlons le résultat : la norme du vecteur image vaut $\sqrt{(-4{)}^2+3^2}=5\backslash sqrt\{(-4)^2+3^2\}=5$. La longueur 5 est exactement conservée. La représentation associée montre les deux flèches à la même échelle ; leurs extrémités correspondent aux coordonnées calculées.

Pour vérifier une matrice carrée complexe, on calcule sa transposée conjuguée puis le produit U^*U. Si le résultat est exactement l’identité, la matrice est unitaire. Pour une matrice réelle, le test d’orthogonalité avec la simple transposée est plus direct.

Pour inverser une matrice déjà reconnue unitaire, aucun calcul d’inversion générale n’est nécessaire : sa transposée conjuguée est son inverse. Si le produit U^*U diffère de l’identité, il faut employer une méthode d’inversion adaptée, à condition que la matrice soit inversible.

Pour fabriquer un vecteur unitaire dans la direction d’un vecteur non nul, on divise celui-ci par sa norme. Le vecteur nul constitue le critère d’arrêt : sa norme vaut 0, donc cette division est impossible.

Matrice orthogonale. Elle est réelle et vérifie que sa transposée est son inverse. Une matrice unitaire peut avoir des coefficients complexes ; la conjugaison devient alors indispensable. La rotation réelle R de l’exemple est à la fois orthogonale et unitaire.

Matrice hermitienne. Elle vérifie U^* = U, tandis qu’une matrice unitaire vérifie U^* = U⁻¹. Une matrice peut satisfaire l’une de ces propriétés sans satisfaire l’autre ; l’égalité à tester n’est donc pas la même.

Vecteur unitaire. Il s’agit d’un seul vecteur de norme 1. Une matrice unitaire est une transformation carrée dont toutes les colonnes sont unitaires et orthogonales entre elles. Vérifier la norme d’une seule colonne ne suffit pas.

La matrice doit être carrée. Une matrice rectangulaire peut avoir des colonnes orthonormées et vérifier U^*U = I, sans posséder d’inverse à deux côtés. On parle alors d’isométrie sur son espace de départ, pas d’une matrice unitaire au sens de U(n).

La conjugaison ne peut pas être omise. Pour des coefficients complexes, la transposée seule peut donner un verdict faux. Il faut conjuguer chaque coefficient avant de transposer, puis comparer le produit obtenu à l’identité.

Une vérification partielle ne suffit pas. Des colonnes toutes de norme 1 peuvent ne pas être orthogonales. Le produit U^*U doit avoir des 1 sur toute sa diagonale et des 0 à toutes les positions hors diagonale.

Le vecteur nul ne se normalise pas. La formule de normalisation divise par la norme. Au seuil exact où cette norme vaut 0, le quotient n’est pas défini ; il faut choisir un vecteur non nul.

Le produit scalaire précise la quantité qu’une transformation unitaire conserve entre chaque paire de vecteurs.

La norme permet de lire la conservation des longueurs et d’expliquer la normalisation d’un vecteur non nul.

La fiche sur la matrice orthogonale développe le cas réel du même mécanisme de conservation.