matrice orthogonale

Imaginez une feuille quadrillée que l’on fait pivoter sans l’étirer ni l’écraser. Une matrice orthogonale décrit précisément ce type de transformation : les longueurs et les angles restent inchangés. Les colonnes de la matrice donnent les nouvelles directions des axes. Elles ont chacune une longueur égale à 1 et sont perpendiculaires entre elles.

Pour annuler la transformation, il suffit d’échanger lignes et colonnes, c’est-à-dire de prendre la transposée. Selon le signe du déterminant, l’orientation est conservée ou renversée.

Une matrice orthogonale est une matrice carrée à coefficients réels. Si cette matrice est notée M, sa transposée Mᵀ s’obtient en échangeant ses lignes et ses colonnes. La matrice identité d’ordre n, notée I_n, laisse tous les vecteurs inchangés. Le critère complet est :

Ce critère équivaut à dire que les colonnes de M ont une norme égale à 1 et sont deux à deux orthogonales ; elles forment donc une base orthonormée de ℝⁿ. Les lignes possèdent la même propriété. Une telle transformation conserve le produit scalaire, donc les longueurs et les angles. Son déterminant vaut nécessairement +1 ou −1. Le signe +1 conserve l’orientation ; le signe −1 la renverse. Sur les nombres complexes, la notion correspondante est la matrice unitaire : l’inverse y est la transposée conjuguée, et non la seule transposée.

Quatre éléments structurent une matrice orthogonale. D’abord, elle est carrée : elle possède autant de lignes que de colonnes. Ensuite, ses coefficients réels décrivent l’action sur ℝⁿ. Ses colonnes sont les images des vecteurs de la base usuelle ; leur norme vaut 1 et leurs produits scalaires croisés valent 0. Enfin, ses lignes satisfont les mêmes relations.

L’orthonormalité des colonnes entraîne MᵀM = I_n, donc la transposée est l’inverse. Réciproquement, cette identité impose les normes et les orthogonalités voulues. Ces données suffisent à calculer l’image de tout vecteur et à garantir la conservation des longueurs et des angles. Le signe du déterminant ne définit pas l’orthogonalité ; il indique seulement si l’orientation est conservée ou renversée.

On étudie la matrice R qui effectue un quart de tour dans le plan, dans le sens direct. Les données sont ses deux colonnes, (0, 1) et (−1, 0), ainsi que la base usuelle formée des vecteurs e₁ = (1, 0) et e₂ = (0, 1).

Étape 1. Chaque colonne a pour norme 1, car 0² + 1² = 1. Leur produit scalaire vaut 0 × (−1) + 1 × 0 = 0 : elles sont perpendiculaires.
Étape 2. La transposée échange les lignes et les colonnes, puis le produit donne l’identité :Étape 3. Le déterminant vaut 0 × 0 − (−1) × 1 = 1. La transformation conserve donc l’orientation.
Étape 4. On contrôle l’action : R envoie e₁ sur e₂, puis e₂ sur −e₁. C’est bien une rotation de 90° dans le sens direct, sans changement de longueur ni d’angle.

Pour reconnaître une matrice orthogonale, on calcule MᵀM. Si le résultat est exactement I_n, la matrice est orthogonale et son inverse est déjà connu : c’est Mᵀ. Cette vérification évite un calcul d’inverse plus long.

Une matrice orthogonale décrit tout déplacement linéaire rigide fixant l’origine, notamment les rotations, les réflexions et leurs compositions. Si la transformation doit aussi étirer une direction, il faut employer une matrice linéaire plus générale.

Pour savoir si l’orientation change, on calcule le déterminant après avoir vérifié l’orthogonalité. La valeur +1 signale une orientation conservée ; la valeur −1 signale une orientation renversée. Le déterminant seul ne suffit jamais à établir que la matrice est orthogonale.

Matrice orthogonale et matrice unitaire. Une matrice orthogonale a des coefficients réels et son inverse est sa transposée. Une matrice unitaire peut avoir des coefficients complexes et son inverse est sa transposée conjuguée. Dès qu’un coefficient non réel intervient, le second cadre est le bon.

Matrice orthogonale et matrice symétrique. Une matrice symétrique vérifie Mᵀ = M, tandis qu’une matrice orthogonale vérifie Mᵀ = M⁻¹. La matrice du quart de tour de l’exemple est orthogonale mais non symétrique, car ses deux coefficients hors diagonale sont opposés.

Colonnes orthogonales et colonnes orthonormées. Des colonnes perpendiculaires ne suffisent pas : leur norme doit aussi valoir 1. La matrice diagonale de coefficients 2 et 3 a des colonnes orthogonales, mais elle étire les vecteurs et n’est pas orthogonale.

Un déterminant égal à ±1 ne suffit pas. La matrice diagonale de coefficients 2 et 1/2 a un déterminant égal à 1, mais sa première colonne a pour norme 2. Il faut contrôler MᵀM = I_n, pas seulement le déterminant.

Le critère porte sur une matrice carrée réelle. Pour une matrice rectangulaire, des colonnes orthonormées peuvent donner MᵀM = I sans qu’une matrice inverse existe. Pour des coefficients complexes, il faut remplacer la transposée par la transposée conjuguée et parler de matrice unitaire.

Le signe du déterminant décrit l’orientation, pas une transformation unique. En dimension supérieure à 2, la valeur +1 peut combiner plusieurs rotations dans des plans distincts. La valeur −1 indique un renversement d’orientation, sans déterminer à elle seule l’axe ou l’hyperplan d’une réflexion.

Les calculs numériques sont rarement exacts. Avec des coefficients arrondis, MᵀM peut être seulement proche de I_n. Il faut alors annoncer une tolérance adaptée à la précision des données, au lieu de conclure à partir d’une égalité exacte qui n’est pas observée.

La Transposée précise l’opération qui échange lignes et colonnes et devient ici l’inverse de la matrice.

La fiche Unitaire (matrice) prolonge le critère aux coefficients complexes grâce à la transposée conjuguée.

La Réflexion éclaire le renversement d’orientation associé aux matrices orthogonales de déterminant −1.